Para mostrar que \( n \log n = O(n^2) \), precisamos usar a definição formal de **notação Big-O**.

### Definição de Big-O
Dizemos que \( f(n) = O(g(n)) \) se existirem constantes positivas \( c \) e \( n_0 \) tais que, para todo \( n \geq n_0 \), a seguinte desigualdade seja verdadeira:
\[
f(n) \leq c \cdot g(n)
\]
Ou seja, \( f(n) \) cresce no máximo tão rápido quanto \( g(n) \) multiplicado por uma constante, para valores suficientemente grandes de \( n \).

### Passo a passo

Aqui, queremos provar que \( n \log n = O(n^2) \). Portanto, precisamos encontrar constantes \( c \) e \( n_0 \) tais que:
\[
n \log n \leq c \cdot n^2 \quad \text{para todo} \quad n \geq n_0
\]

#### 1. Estimativa da função \( \log n \)
Sabemos que, para valores grandes de \( n \), o logaritmo cresce lentamente em relação a \( n \). Mais precisamente, \( \log n \leq n \) para \( n \geq 2 \). Essa desigualdade pode ser usada para simplificar nossa análise.

#### 2. Comparação de \( n \log n \) com \( n^2 \)
Agora, partimos da seguinte desigualdade:
\[
n \log n \leq n \cdot n = n^2
\]

Ou seja, para qualquer \( n \geq 2 \), temos:
\[
n \log n \leq n^2
\]

#### 3. Escolha de constantes \( c \) e \( n_0 \)
Com base na desigualdade acima, podemos escolher \( c = 1 \) e \( n_0 = 2 \), de modo que, para todo \( n \geq 2 \), temos:
\[
n \log n \leq 1 \cdot n^2
\]

### Conclusão
Assim, mostramos que \( n \log n \leq c \cdot n^2 \) para algum \( c > 0 \) e para \( n \) suficientemente grande (\( n_0 = 2 \)). Logo, podemos concluir que:
\[
n \log n = O(n^2)
\]

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 questões relacionadas para expandir o entendimento:
1. Como provar que \( n^k = O(e^n) \) para qualquer \( k \geq 1 \)?
2. Qual a diferença entre as notações \( O \), \( \Theta \) e \( \Omega \)?
3. Como o crescimento de \( \log n \) se compara com outras funções como \( n! \)?
4. Pode-se usar a notação Big-O para funções que não são crescentes?
5. Como aplicar o limite assintótico para comparar duas funções?

**Dica:** A notação Big-O descreve o comportamento assintótico de funções, ou seja, como elas se comportam à medida que \( n \) tende ao infinito.

This guide explains how to prove that n log n = O(n²) using Big-O notation. It covers asymptotic analysis, the logarithmic growth comparison with quadratic functions, and the step-by-step process of finding constants for Big-O proofs. Suitable for undergraduate mathematics students.

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