Pruebe que existe un único plano conteniendo dos rectas paralelas.

Para probar que existe un único plano que contiene dos rectas paralelas, podemos proceder de la siguiente manera:

**Teorema**: Dadas dos rectas paralelas, existe un único plano que las contiene.

### Prueba:

**Hipótesis**: Sean \( r \) y \( s \) dos rectas paralelas en el espacio.

1. **Definición de paralelismo**: 
   - Dos rectas \( r \) y \( s \) son paralelas si y solo si sus vectores directores \( \vec{v_r} \) y \( \vec{v_s} \) son paralelos, es decir, existe un escalar \( \lambda \in \mathbb{R} \) tal que \( \vec{v_r} = \lambda \vec{v_s} \).
   - También, otra forma de definir paralelismo es que \( r \) y \( s \) no se intersecan y son coplanares.

2. **Existencia de un plano que contiene a \( r \) y \( s \)**:
   - Tomemos un punto \( A \) en la recta \( r \) y un punto \( B \) en la recta \( s \).
   - Consideremos el plano \( \pi \) definido por el punto \( A \) y los vectores \( \vec{v_r} \) y \( \vec{AB} \), donde \( \vec{AB} \) es el vector que va desde \( A \) hasta \( B \).
   - En este plano \( \pi \), la recta \( r \) claramente está contenida, ya que \( r \) pasa por \( A \) y tiene dirección \( \vec{v_r} \).
   - Ahora, como \( s \) es paralela a \( r \), \( s \) también debe estar contenida en el plano \( \pi \), ya que si no lo estuviera, \( r \) y \( s \) no podrían ser paralelas (por definición, dos rectas paralelas son coplanares).

3. **Unicidad del plano**:
   - Supongamos que existe otro plano \( \pi' \) que también contiene a las rectas \( r \) y \( s \).
   - Los planos \( \pi \) y \( \pi' \) tendrían que contener a las dos rectas \( r \) y \( s \), lo cual implicaría que \( \pi \) y \( \pi' \) son el mismo plano. Esto es porque, si dos planos diferentes contienen a dos rectas no coincidentes, entonces esos planos deben coincidir a lo largo de toda su extensión (esto es una propiedad de los planos en el espacio tridimensional).
   - Por lo tanto, no puede existir otro plano diferente de \( \pi \) que contenga a las dos rectas paralelas \( r \) y \( s \).

**Conclusión**: Se ha probado que existe un único plano que contiene a dos rectas paralelas.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se define el plano que contiene a dos puntos no colineales?
2. ¿Qué sucede si las rectas no son paralelas? ¿Cómo cambia la prueba?
3. ¿Cómo se puede usar esta prueba para demostrar propiedades de figuras geométricas como los prismas?
4. ¿Cuál es la relación entre el teorema del plano único y la noción de rectas coplanares?
5. ¿Qué otros teoremas geométricos fundamentales se pueden derivar de este resultado?

**Tip:** En geometría, entender las propiedades de los planos y las rectas es clave para resolver problemas complejos, especialmente en el análisis de figuras tridimensionales.

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