10.- Considérese las siguientes funciones sobre n:
f1(n)=n2
f2(n)=n2 + 1000n
f3(n)=[ n        si n es impar |  n 3       si n es par ]
f4(n)= [n        si n<=100     |  n 3       si n>100  ]
Para cada posible par de valores de i y j, indíquese si fi(n) es O(fj(n)) o no


Para resolver este problema, vamos a comparar las funciones dadas \( f_i(n) \) utilizando la notación \( O(f_j(n)) \), lo que significa que vamos a ver si existe una constante \( C \) y un valor \( n_0 \) tal que:

\[
f_i(n) \leq C \cdot f_j(n) \quad \text{para todo} \quad n \geq n_0
\]

Las funciones dadas son:

- \( f_1(n) = n^2 \)
- \( f_2(n) = n^2 + 1000n \)
- \( f_3(n) = 
\begin{cases} 
n & \text{si } n \text{ es impar} \\
n^3 & \text{si } n \text{ es par}
\end{cases}
\)
- \( f_4(n) = 
\begin{cases} 
n & \text{si } n \leq 100 \\
n^3 & \text{si } n > 100
\end{cases}
\)

Vamos a revisar cada par \( f_i(n) \) y \( f_j(n) \).

### 1. Comparaciones con \( f_1(n) = n^2 \)

- **\( f_1(n) \) vs \( f_2(n) \)**:  
  \( f_2(n) = n^2 + 1000n \). Como \( n^2 \) domina el término \( 1000n \) para \( n \to \infty \), entonces \( f_2(n) = O(f_1(n)) \) y también \( f_1(n) = O(f_2(n)) \).

- **\( f_1(n) \) vs \( f_3(n) \)**:  
  Para \( n \) grande, si \( n \) es impar, \( f_3(n) = n \), lo cual es más pequeño que \( f_1(n) = n^2 \). Entonces, \( f_3(n) = O(f_1(n)) \).  
  Si \( n \) es par, \( f_3(n) = n^3 \), que crece más rápido que \( f_1(n) \), entonces \( f_1(n) = O(f_3(n)) \).

- **\( f_1(n) \) vs \( f_4(n) \)**:  
  Para \( n > 100 \), \( f_4(n) = n^3 \), entonces \( f_1(n) = O(f_4(n)) \).  
  Si \( n \leq 100 \), \( f_4(n) = n \), que es menor que \( f_1(n) \). Entonces, \( f_4(n) = O(f_1(n)) \).

### 2. Comparaciones con \( f_2(n) = n^2 + 1000n \)

- **\( f_2(n) \) vs \( f_3(n) \)**:  
  Si \( n \) es impar, \( f_3(n) = n \), lo cual es menor que \( f_2(n) = n^2 + 1000n \), entonces \( f_3(n) = O(f_2(n)) \).  
  Si \( n \) es par, \( f_3(n) = n^3 \), que crece más rápido que \( f_2(n) \), entonces \( f_2(n) = O(f_3(n)) \).

- **\( f_2(n) \) vs \( f_4(n) \)**:  
  Si \( n > 100 \), \( f_4(n) = n^3 \), que es más grande que \( f_2(n) = n^2 + 1000n \), entonces \( f_2(n) = O(f_4(n)) \).  
  Si \( n \leq 100 \), \( f_4(n) = n \), entonces \( f_4(n) = O(f_2(n)) \).

### 3. Comparaciones con \( f_3(n) \)

- **\( f_3(n) \) vs \( f_4(n) \)**:  
  Para \( n \leq 100 \), ambos son \( O(n) \).  
  Para \( n > 100 \), si \( n \) es impar, \( f_3(n) = n \) y \( f_4(n) = n^3 \), entonces \( f_3(n) = O(f_4(n)) \).  
  Si \( n \) es par, \( f_3(n) = n^3 \) y \( f_4(n) = n^3 \), entonces \( f_3(n) = O(f_4(n)) \) y viceversa.

### Resumen final

- \( f_1(n) = O(f_2(n)) \) y \( f_2(n) = O(f_1(n)) \).
- \( f_1(n) = O(f_3(n)) \) y \( f_3(n) = O(f_1(n)) \).
- \( f_1(n) = O(f_4(n)) \) y \( f_4(n) = O(f_1(n)) \).
- \( f_2(n) = O(f_3(n)) \) y \( f_3(n) = O(f_2(n)) \).
- \( f_2(n) = O(f_4(n)) \) y \( f_4(n) = O(f_2(n)) \).
- \( f_3(n) = O(f_4(n)) \) y \( f_4(n) = O(f_3(n)) \).

¿Te gustaría que exploremos algunos detalles o tienes alguna pregunta?

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**Tip:** El análisis asintótico te permite comparar el comportamiento de funciones para valores grandes de \( n \), ignorando constantes y términos de menor grado.

Considérese las siguientes funciones sobre n:
f1(n)=n2
f2(n)=n2 + 1000n
f3(n)=[ n si n es impar | n^3 si n es par ]
f4(n)= [n si n<=100 | n^3 si n>100 ]
Para cada posible par de valores de i y j, indíquese si fi(n) es O(fj(n)) o no.

Analyze functions f1(n), f2(n), f3(n), and f4(n) using Big-O notation to determine their growth rates in various cases. This problem involves understanding asymptotic analysis, comparing polynomial and cubic growth, and applying Big-O theory to function pairs.

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