Sea Y(n) un paseo aleatorio de parámetro p=0,6.Obtenga:



P(Y(4)=2, Y(6)=2 , Y(10)=6; Y(12)=4)

Dado que \( Y(n) \) es un paseo aleatorio con parámetro \( p = 0.6 \), podemos modelar el comportamiento del paseo aleatorio como una sucesión de pasos hacia arriba o hacia abajo en un proceso de Bernoulli. Específicamente, en cada paso, el paseo tiene probabilidad \( p = 0.6 \) de moverse hacia arriba (+1) y probabilidad \( 1 - p = 0.4 \) de moverse hacia abajo (-1).

Queremos calcular la probabilidad conjunta:

\[
P(Y(4)=2, Y(6)=2, Y(10)=6, Y(12)=4)
\]

### Paso 1: Definir las posiciones intermedias

Sabemos que:

1. \( Y(0) = 0 \) (asumimos que comienza en 0).
2. \( Y(4) = 2 \): En los primeros 4 pasos, el paseo debe haber alcanzado la posición 2.
3. \( Y(6) = 2 \): Luego de 6 pasos, el paseo está de nuevo en 2.
4. \( Y(10) = 6 \): Después de 10 pasos, el paseo está en la posición 6.
5. \( Y(12) = 4 \): Luego de 12 pasos, termina en la posición 4.

### Paso 2: Análisis de cada etapa

1. **De \( Y(0) = 0 \) a \( Y(4) = 2 \):**  
   Para que el paseo esté en la posición 2 después de 4 pasos, debe haber habido un exceso de pasos hacia arriba en relación con los pasos hacia abajo. Específicamente, necesitamos que en esos 4 pasos haya habido 3 pasos hacia arriba y 1 paso hacia abajo. La probabilidad de esto es:

   \[
   P_1 = \binom{4}{3} p^3 (1-p)^1 = \binom{4}{3} (0.6)^3 (0.4)^1 = 4 \cdot (0.216) \cdot (0.4) = 0.3456
   \]

2. **De \( Y(4) = 2 \) a \( Y(6) = 2 \):**  
   En este caso, queremos que después de 2 pasos adicionales, el paseo vuelva a estar en la posición 2. Esto implica que el número de pasos hacia arriba debe ser igual al número de pasos hacia abajo. La única posibilidad es 1 paso hacia arriba y 1 paso hacia abajo. La probabilidad de esto es:

   \[
   P_2 = \binom{2}{1} p^1 (1-p)^1 = 2 \cdot (0.6) \cdot (0.4) = 0.48
   \]

3. **De \( Y(6) = 2 \) a \( Y(10) = 6 \):**  
   En los 4 pasos entre \( n = 6 \) y \( n = 10 \), el paseo debe aumentar de la posición 2 a la posición 6. Esto implica que debe haber habido 4 pasos hacia arriba y 0 pasos hacia abajo. La probabilidad de esto es:

   \[
   P_3 = \binom{4}{4} p^4 (1-p)^0 = (0.6)^4 = 0.1296
   \]

4. **De \( Y(10) = 6 \) a \( Y(12) = 4 \):**  
   Finalmente, en los 2 pasos restantes, el paseo debe disminuir de la posición 6 a la posición 4. Esto implica que ambos pasos deben ser hacia abajo. La probabilidad de esto es:

   \[
   P_4 = (1-p)^2 = (0.4)^2 = 0.16
   \]

### Paso 3: Probabilidad conjunta

Dado que los sucesos son independientes (cada etapa depende solo de los pasos en ese intervalo), la probabilidad conjunta es el producto de las probabilidades individuales:

\[
P(Y(4)=2, Y(6)=2, Y(10)=6, Y(12)=4) = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 \cdot P_4
\]

\[
P(Y(4)=2, Y(6)=2, Y(10)=6, Y(12)=4) = 0.3456 \cdot 0.48 \cdot 0.1296 \cdot 0.16
\]

Calculando:

\[
P(Y(4)=2, Y(6)=2, Y(10)=6, Y(12)=4) \approx 0.00344
\]

### Conclusión

La probabilidad de que \( Y(4) = 2 \), \( Y(6) = 2 \), \( Y(10) = 6 \), y \( Y(12) = 4 \) es aproximadamente \( 0.00344 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes preguntas adicionales?

#### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo influye el parámetro \( p \) en el comportamiento del paseo aleatorio?
2. ¿Qué sucede si cambiamos las posiciones objetivo, por ejemplo, \( Y(10) = 4 \) en lugar de \( Y(10) = 6 \)?
3. ¿Cómo calcularíamos la esperanza matemática de la posición \( Y(n) \) después de \( n \) pasos?
4. ¿Qué cambios ocurrirían si \( p = 0.5 \) en lugar de \( p = 0.6 \)?
5. ¿Cómo se relaciona este modelo de paseo aleatorio con procesos estocásticos más complejos como el movimiento browniano?

#### Tip:
Cuando trabajes con paseos aleatorios, es útil pensar en ellos como una cadena de eventos independientes para los cuales puedes calcular probabilidades individuales y luego combinarlas para obtener la probabilidad conjunta.

Sea Y(n) un paseo aleatorio de parámetro p=0,6. Obtenga: P(Y(4)=2, Y(6)=2 , Y(10)=6; Y(12)=4)

Learn how to calculate the joint probability of a random walk reaching specific positions given a parameter p = 0.6. This example covers probability theory concepts, such as the Bernoulli process, binomial probability formula, and the multiplication rule for independent events. Suitable for undergraduate students studying statistics or probability theory.

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