Se tiene una urna dorada que contiene 3 bolas rojas y 4 bolas blancas y una urna plateada que contiene
5 bolas rojas y 2 blancas. Se lanza un dado y si sale un 6, se selecciona una bola al azar de la urna
dorada. De otra forma, se selecciona una bola al azar de la urna plateada.
b) Si la bola seleccionada no se regresa a la urna y se selecciona una segunda bola de la misma urna,
encuentre la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.

Dado el problema, lo que se describe es un experimento de probabilidad condicional con dos urnas y dos selecciones sin reemplazo. Vamos a calcular la probabilidad de que ambas bolas seleccionadas sean blancas, dependiendo de la urna que se use.

### Paso 1: Definir los eventos

- \( D \): Evento en el que se selecciona una bola de la urna dorada (ocurre cuando sale un 6 en el dado).
- \( P \): Evento en el que se selecciona una bola de la urna plateada (ocurre cuando sale cualquier otro número en el dado, es decir, con probabilidad \( \frac{5}{6} \)).

Queremos encontrar la **probabilidad de que ambas bolas seleccionadas sean blancas** (\( BB \)).

### Paso 2: Probabilidades de seleccionar bolas blancas en cada urna

1. **Urna dorada**: La urna dorada contiene 3 bolas rojas y 4 bolas blancas.
    - La probabilidad de seleccionar una bola blanca en el primer intento: \( P(B_1 | D) = \frac{4}{7} \).
    - Como no se regresa la bola, ahora quedan 6 bolas en la urna (3 rojas y 3 blancas).
    - La probabilidad de que la segunda bola seleccionada sea blanca después de haber seleccionado una blanca es: \( P(B_2 | B_1, D) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
    - Por lo tanto, la probabilidad de que ambas bolas sean blancas de la urna dorada es:
    \[
    P(BB | D) = P(B_1 | D) \times P(B_2 | B_1, D) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}.
    \]

2. **Urna plateada**: La urna plateada contiene 5 bolas rojas y 2 bolas blancas.
    - La probabilidad de seleccionar una bola blanca en el primer intento: \( P(B_1 | P) = \frac{2}{7} \).
    - Como no se regresa la bola, ahora quedan 6 bolas en la urna (5 rojas y 1 blanca).
    - La probabilidad de que la segunda bola seleccionada sea blanca después de haber seleccionado una blanca es: \( P(B_2 | B_1, P) = \frac{1}{6} \).
    - Por lo tanto, la probabilidad de que ambas bolas sean blancas de la urna plateada es:
    \[
    P(BB | P) = P(B_1 | P) \times P(B_2 | B_1, P) = \frac{2}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}.
    \]

### Paso 3: Aplicar la regla de la probabilidad total

La probabilidad total de que ambas bolas sean blancas, considerando las dos posibles urnas, se obtiene combinando las probabilidades para cada urna, ponderadas por la probabilidad de que se seleccione dicha urna:

\[
P(BB) = P(D) \times P(BB | D) + P(P) \times P(BB | P)
\]
Donde:
- \( P(D) = \frac{1}{6} \) es la probabilidad de elegir la urna dorada.
- \( P(P) = \frac{5}{6} \) es la probabilidad de elegir la urna plateada.

Sustituyendo los valores:

\[
P(BB) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{7} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{21}
\]

### Paso 4: Simplificar el resultado

Vamos a calcular esta expresión:

\[
P(BB) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{7} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{21} = \frac{2}{42} + \frac{5}{126}
\]

Sumamos fracciones con denominador común:

\[
P(BB) = \frac{6}{126} + \frac{5}{126} = \frac{11}{126}
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que ambas bolas seleccionadas sean blancas es:

\[
\boxed{P(BB) = \frac{11}{126}}
\]

---

¿Te gustaría que aclare algún paso? Aquí hay 5 preguntas relacionadas para expandir:

1. ¿Cómo se aplica la probabilidad condicional en este tipo de problemas?
2. ¿Qué otros métodos existen para calcular probabilidades en experimentos sin reemplazo?
3. ¿Cómo cambiaría la probabilidad si hubiera más bolas en una de las urnas?
4. ¿Qué sucedería si la selección de bolas fuera con reemplazo?
5. ¿Cómo se calcula la probabilidad total en casos de múltiples urnas?

**Tip**: Cuando trabajas con urnas, separar el problema en casos (diferentes urnas) y luego combinarlos es clave para mantener claridad.

Se tiene una urna dorada que contiene 3 bolas rojas y 4 bolas blancas y una urna plateada que contiene 5 bolas rojas y 2 blancas. Se lanza un dado y si sale un 6, se selecciona una bola al azar de la urna dorada. De otra forma, se selecciona una bola al azar de la urna plateada. b) Si la bola seleccionada no se regresa a la urna y se selecciona una segunda bola de la misma urna, encuentre la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.

This problem explores the conditional probability of selecting two white balls without replacement from two urns. Learn the step-by-step solution using the law of total probability and conditional probability formulas. Suitable for students in Grades 10-12.

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