En una urna hay 3 bolas blancas y 4 rojas. Tres bolas son transferidas a una segunda urna vacía. se extrae una blanca de la segunda urna. ¿cuál es la probabilidad de sacar una roja de las dos restantes?

Para resolver este problema de probabilidad, sigamos los siguientes pasos:

1. **Definimos las urnas y las bolas:**
   - Primera urna: 3 bolas blancas (B) y 4 bolas rojas (R).
   - Segunda urna: Inicialmente vacía. Se transferirán 3 bolas de la primera urna a la segunda.

2. **Probabilidad de que la bola extraída sea blanca:**
   - El problema indica que ya se ha extraído una bola blanca de la segunda urna. Debemos encontrar la probabilidad de que una de las dos bolas restantes en la segunda urna sea roja.

3. **Transferencia de bolas:**
   - Cuando se transfieren 3 bolas de la primera urna a la segunda, hay varias combinaciones posibles:
     1. Se transfieren 3 bolas blancas (BBB).
     2. Se transfieren 2 bolas blancas y 1 roja (BBR).
     3. Se transfieren 1 bola blanca y 2 rojas (BRR).
     4. Se transfieren 0 bolas blancas y 3 rojas (RRR).

   Estas combinaciones tienen diferentes probabilidades. Pero sabemos que se extrajo una bola blanca, lo que elimina la combinación en que no se transfirieron bolas blancas (RRR).

4. **Probabilidad de cada caso:**
   - Para calcular la probabilidad de sacar una roja después de que se ha sacado una bola blanca, consideramos los casos donde la segunda urna tiene al menos una bola blanca:
     - **Caso 1:** BBB (no es posible extraer una roja después, por lo que este caso se descarta).
     - **Caso 2:** BBR. Si se saca una blanca, quedan 1 blanca y 1 roja.
     - **Caso 3:** BRR. Si se saca una blanca, quedan 2 rojas.

5. **Calcular probabilidades:**
   - Probabilidad de que las bolas transferidas fueran BBR: \(\frac{\binom{3}{2} \times \binom{4}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{3 \times 4}{35} = \frac{12}{35}\)
   - Probabilidad de que las bolas transferidas fueran BRR: \(\frac{\binom{3}{1} \times \binom{4}{2}}{\binom{7}{3}} = \frac{3 \times 6}{35} = \frac{18}{35}\)

   Condicionado a que ya se sacó una bola blanca:
   - **Caso 2 (BBR):** La probabilidad de sacar una roja de las dos bolas restantes es \(\frac{1}{2}\).
   - **Caso 3 (BRR):** La probabilidad de sacar una roja de las dos bolas restantes es \(1\) (porque quedan dos rojas).

   La probabilidad total ponderada es:
   \[
   P(\text{sacar roja}) = \frac{12}{30} \times \frac{1}{2} + \frac{18}{30} \times 1 = \frac{12}{30} \times \frac{1}{2} + \frac{18}{30} = \frac{6}{30} + \frac{18}{30} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}
   \]

Por lo tanto, la probabilidad de que una de las dos bolas restantes sea roja es **\( \frac{4}{5} \) o 0.8**.

¿Quieres que te detalle algún paso o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir tu comprensión:

1. ¿Qué es una probabilidad condicional y cómo se aplica en este problema?
2. ¿Cómo se calculan las combinaciones y por qué son importantes en este contexto?
3. ¿Qué pasaría si se cambiaran las cantidades de bolas blancas y rojas?
4. ¿Cómo cambiaría el resultado si en lugar de 3 bolas se transfirieran 4?
5. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca al principio?
6. ¿Cómo se aplicaría el teorema de Bayes en este problema?
7. ¿Cómo podríamos verificar el resultado usando un enfoque de simulación?
8. ¿Cómo se relaciona este problema con la ley de probabilidad total?

**Tip:** Cuando enfrentas problemas de probabilidad condicional, es útil considerar todos los posibles casos o escenarios antes de calcular las probabilidades.

Explore the solution to a probability problem involving the transfer of balls between urns and the extraction of specific colored balls. This problem covers conditional probability and combinatorics, detailing step-by-step how to calculate probabilities based on transferred balls and extracted outcomes. Suitable for advanced high school students and beyond.

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