Em uma urna há 3 bolas vermelhas, 4 azuis e 5 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las.

a) Determine a probabilidade de retirada de duas bolas vermelhas.

b) Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas de mesma cor (vermelha - vermelha, azul - azul ou preta - preta)?

Vamos resolver o problema em duas partes.

### Parte a) Probabilidade de retirada de duas bolas vermelhas

Primeiro, vamos determinar a probabilidade de retirar duas bolas vermelhas sucessivamente sem reposição.

#### Passo 1: Número total de bolas
Na urna, temos:
- 3 bolas vermelhas
- 4 bolas azuis
- 5 bolas pretas

Total de bolas: \( 3 + 4 + 5 = 12 \)

#### Passo 2: Probabilidade da primeira bola ser vermelha
A probabilidade de retirar a primeira bola vermelha é:
\[ P(\text{primeira vermelha}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

#### Passo 3: Probabilidade da segunda bola ser vermelha (dada que a primeira foi vermelha)
Se a primeira bola foi vermelha, restam 2 bolas vermelhas e um total de 11 bolas na urna. A probabilidade de retirar a segunda bola vermelha é:
\[ P(\text{segunda vermelha | primeira vermelha}) = \frac{2}{11} \]

#### Passo 4: Probabilidade conjunta
A probabilidade conjunta de ambos os eventos (retirar duas bolas vermelhas sucessivamente) é o produto das duas probabilidades:
\[ P(\text{duas vermelhas}) = P(\text{primeira vermelha}) \times P(\text{segunda vermelha | primeira vermelha}) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{11} = \frac{1}{22} \]

Portanto, a probabilidade de retirar duas bolas vermelhas é \( \frac{1}{22} \).

### Parte b) Probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor

#### Passo 1: Probabilidade de retirar duas bolas vermelhas
Já calculamos que essa probabilidade é \( \frac{1}{22} \).

#### Passo 2: Probabilidade de retirar duas bolas azuis

- Probabilidade da primeira bola ser azul:
\[ P(\text{primeira azul}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

- Probabilidade da segunda bola ser azul (dada que a primeira foi azul):
\[ P(\text{segunda azul | primeira azul}) = \frac{3}{11} \]

- Probabilidade conjunta de retirar duas bolas azuis:
\[ P(\text{duas azuis}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{11} = \frac{1}{11} \]

#### Passo 3: Probabilidade de retirar duas bolas pretas

- Probabilidade da primeira bola ser preta:
\[ P(\text{primeira preta}) = \frac{5}{12} \]

- Probabilidade da segunda bola ser preta (dada que a primeira foi preta):
\[ P(\text{segunda preta | primeira preta}) = \frac{4}{11} \]

- Probabilidade conjunta de retirar duas bolas pretas:
\[ P(\text{duas pretas}) = \frac{5}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{20}{132} = \frac{10}{66} = \frac{5}{33} \]

#### Passo 4: Probabilidade total de retirar duas bolas da mesma cor
Somamos as probabilidades de retirar duas vermelhas, duas azuis e duas pretas:
\[ P(\text{mesma cor}) = P(\text{duas vermelhas}) + P(\text{duas azuis}) + P(\text{duas pretas}) \]
\[ P(\text{mesma cor}) = \frac{1}{22} + \frac{1}{11} + \frac{5}{33} \]

Vamos igualar os denominadores:
- \( \frac{1}{22} = \frac{3}{66} \)
- \( \frac{1}{11} = \frac{6}{66} \)
- \( \frac{5}{33} = \frac{10}{66} \)

Então,
\[ P(\text{mesma cor}) = \frac{3}{66} + \frac{6}{66} + \frac{10}{66} = \frac{19}{66} \]

Portanto, a probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor é \( \frac{19}{66} \).

Se quiser mais detalhes ou tiver alguma dúvida, me avise!

**Questões Relacionadas:**
1. Como calcular a probabilidade de retirar duas bolas de cores diferentes?
2. Qual é a probabilidade de retirar duas bolas consecutivas que sejam ambas pretas ou ambas vermelhas?
3. Como as probabilidades mudam se as bolas forem repostas na urna após a primeira retirada?
4. Se retirarmos três bolas, qual é a probabilidade de todas serem azuis?
5. Qual a probabilidade de retirar pelo menos uma bola vermelha em duas retiradas sucessivas?
6. Qual é a probabilidade de retirar uma bola vermelha e uma bola azul, em qualquer ordem, sem reposição?
7. Se retirarmos quatro bolas sucessivamente, qual é a probabilidade de duas delas serem pretas?
8. Qual é a probabilidade de retirar uma bola de cada cor (vermelha, azul e preta) em três retiradas sucessivas?

**Dica:** Ao resolver problemas de probabilidade com eventos sucessivos sem reposição, lembre-se de ajustar o número total de elementos após cada retirada.

Learn how to calculate probabilities of drawing two balls successively from an urn with different colored balls. This problem covers concepts in probability and combinatorics, including calculations for drawing two red balls and two balls of the same color. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation