En una urna hay 3 bolas blancas y 4 rojas. Tres bolas son transferidas aleatoriamente a una segunda vacía. Una bola es seleccionada al azar de la segunda urna y resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de obtener de esta segunda urna una bola roja al extraer las dos restantes?

Este problema involucra probabilidad condicional y requiere desglosar los eventos en pasos.

### Definiciones:

- **Primera urna**: 3 bolas blancas y 4 bolas rojas.
- **Segunda urna**: Inicialmente vacía. Se transfieren 3 bolas de la primera urna.

### Paso 1: Análisis de la transferencia de bolas.

Al transferir 3 bolas de la primera urna, debemos considerar todas las posibles combinaciones que se pueden obtener. Las combinaciones pueden ser:

1. 3 blancas y 0 rojas.
2. 2 blancas y 1 roja.
3. 1 blanca y 2 rojas.
4. 0 blancas y 3 rojas.

### Paso 2: Probabilidad de obtener una bola blanca en la segunda urna.

Nos dicen que al extraer una bola de la segunda urna, esta resulta ser blanca. Ahora, debemos calcular la probabilidad de que ocurra este evento para cada uno de los escenarios anteriores:

1. **3 blancas y 0 rojas**: La probabilidad de sacar una blanca es 1 (100%).
2. **2 blancas y 1 roja**: La probabilidad de sacar una blanca es \( \frac{2}{3} \).
3. **1 blanca y 2 rojas**: La probabilidad de sacar una blanca es \( \frac{1}{3} \).
4. **0 blancas y 3 rojas**: La probabilidad de sacar una blanca es 0.

### Paso 3: Probabilidad de cada combinación al transferir.

Para determinar las probabilidades de que se seleccionen las diferentes combinaciones de bolas al transferir 3 bolas de la primera urna, utilizamos combinatoria.

- Probabilidad de transferir 3 blancas y 0 rojas: \( \frac{\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{0}}{\binom{7}{3}} = \frac{1}{35} \).
- Probabilidad de transferir 2 blancas y 1 roja: \( \frac{\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{18}{35} \).
- Probabilidad de transferir 1 blanca y 2 rojas: \( \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{2}}{\binom{7}{3}} = \frac{12}{35} \).
- Probabilidad de transferir 0 blancas y 3 rojas: \( \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{4}{3}}{\binom{7}{3}} = \frac{4}{35} \).

### Paso 4: Aplicar la probabilidad condicional.

Ahora, necesitamos calcular la probabilidad de que, habiendo obtenido una bola blanca en la segunda urna, esta haya sido transferida de una combinación específica.

Utilizamos la fórmula de probabilidad condicional:

\[
P(A_i | B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B | A_i)}{\sum_{j} P(A_j) \cdot P(B | A_j)},
\]

donde \( A_i \) son los posibles escenarios de combinaciones y \( B \) es el evento de obtener una bola blanca.

Para los escenarios relevantes (donde al menos hay una bola blanca):

- \( P(B | A_1) = 1 \) (para 3 blancas y 0 rojas).
- \( P(B | A_2) = \frac{2}{3} \) (para 2 blancas y 1 roja).
- \( P(B | A_3) = \frac{1}{3} \) (para 1 blanca y 2 rojas).

Así, la probabilidad de cada escenario dado que se obtiene una bola blanca es:

1. \( P(A_1 | B) = \frac{\frac{1}{35} \cdot 1}{\frac{1}{35} \cdot 1 + \frac{18}{35} \cdot \frac{2}{3} + \frac{12}{35} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{35} \div \frac{23}{35} = \frac{1}{23} \).
2. \( P(A_2 | B) = \frac{\frac{18}{35} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{23}{35}} = \frac{12}{23} \).
3. \( P(A_3 | B) = \frac{\frac{12}{35} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{23}{35}} = \frac{4}{23} \).

### Paso 5: Probabilidad de sacar una bola roja entre las restantes.

Ahora, queremos la probabilidad de obtener una bola roja al extraer las dos restantes en la segunda urna:

- Para el escenario \( A_1 \) (3 blancas y 0 rojas), no hay bolas rojas. La probabilidad es 0.
- Para el escenario \( A_2 \) (2 blancas y 1 roja), la probabilidad de obtener la bola roja es 1.
- Para el escenario \( A_3 \) (1 blanca y 2 rojas), la probabilidad de obtener una bola roja es \( \frac{2}{2} = 1 \).

Finalmente, la probabilidad buscada es:

\[
P(\text{roja}) = \left(\frac{1}{23} \cdot 0\right) + \left(\frac{12}{23} \cdot 1\right) + \left(\frac{4}{23} \cdot 1\right) = \frac{16}{23}.
\]

### Respuesta

La probabilidad de obtener una bola roja al extraer las dos restantes es \( \frac{16}{23} \).

---

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas

1. ¿Cómo se calculan combinaciones y probabilidades usando fórmulas combinatorias?
2. ¿Qué es la probabilidad condicional y cómo se aplica en problemas de urnas?
3. ¿Cómo se determina la probabilidad de un evento compuesto?
4. ¿En qué situaciones se usa la fórmula de Bayes en problemas de probabilidad?
5. ¿Cómo se calculan probabilidades cuando se transfieren elementos entre dos conjuntos?
6. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para resolver problemas de urnas?
7. ¿Cómo cambia la probabilidad si se extrae más de una bola en cada etapa?
8. ¿Cuál es el impacto de la cantidad de elementos en la primera urna en la probabilidad final?

### Consejo

Para problemas de probabilidad complejos, descomponerlos en pasos pequeños y aplicar combinatoria y probabilidad condicional facilita la solución.

Explore the solution to a probability problem involving drawing balls from urns. Learn about conditional probability, combinatorics, and how to calculate probabilities when transferring items between sets. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation