Por favor, resuelvelo sin utilizar "darangement"

Para resolver este problema sin utilizar derangements, podemos enfocarnos directamente en calcular la probabilidad de que haya al menos una coincidencia utilizando el principio de inclusión-exclusión.

### Planteamiento del Problema

Dado \( N \) urnas y \( N \) bolas, ambas numeradas de 1 a \( N \), queremos calcular la probabilidad de que al menos una bola caiga en la urna con el mismo número.

### Paso 1: Definir eventos
Definamos \( A_i \) como el evento en el que la bola \( i \) cae en la urna \( i \).

- La probabilidad de que la bola \( i \) caiga en la urna \( i \) es \( P(A_i) = \frac{1}{N} \).

### Paso 2: Probabilidad de la unión de eventos

Queremos encontrar la probabilidad de que al menos uno de los eventos \( A_1, A_2, \dots, A_N \) ocurra. Es decir, queremos calcular \( P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_N) \).

Para calcular esta probabilidad, usamos el principio de inclusión-exclusión:

\[
P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_N) = \sum_{i=1}^{N} P(A_i) - \sum_{1 \leq i < j \leq N} P(A_i \cap A_j) + \sum_{1 \leq i < j < k \leq N} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots + (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_k \leq N} P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \dots \cap A_{i_k})
\]

### Paso 3: Cálculo de cada término

1. **Primer término**: La suma de las probabilidades individuales:

   \[
   \sum_{i=1}^{N} P(A_i) = N \times \frac{1}{N} = 1
   \]

2. **Segundo término**: Suma de las probabilidades de intersecciones de pares de eventos:

   La probabilidad de que dos bolas \( i \) y \( j \) caigan en sus respectivas urnas es \( P(A_i \cap A_j) = \frac{1}{N(N-1)} \) (porque las urnas restantes tienen \( N-1 \) posiciones para distribuir las otras bolas).

   El número de pares posibles \( (i, j) \) es \( \binom{N}{2} = \frac{N(N-1)}{2} \). Entonces:

   \[
   \sum_{1 \leq i < j \leq N} P(A_i \cap A_j) = \binom{N}{2} \times \frac{1}{N(N-1)} = \frac{N(N-1)}{2} \times \frac{1}{N(N-1)} = \frac{1}{2}
   \]

3. **Tercer término**: Probabilidad de que tres bolas caigan en sus urnas correctas:

   De manera similar, la probabilidad de que tres bolas \( i, j, k \) caigan en sus urnas correctas es \( \frac{1}{N(N-1)(N-2)} \).

   Hay \( \binom{N}{3} \) formas de escoger tres urnas, así que:

   \[
   \sum_{1 \leq i < j < k \leq N} P(A_i \cap A_j \cap A_k) = \binom{N}{3} \times \frac{1}{N(N-1)(N-2)} = \frac{1}{6}
   \]

4. **Generalización**: Continuamos calculando términos similares para el resto de las intersecciones, pero observamos que al sumar y restar estos términos, se aproxima un valor similar a la expansión en serie de \( e^{-1} \).

### Paso 4: Resultado Final

La probabilidad de que al menos una bola coincida con su urna es:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) = 1 - \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \cdots \right)
\]

Esto se aproxima a:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) \approx 1 - \frac{1}{e}
\]

### Conclusión

La probabilidad de que al menos una bola coincida con su urna es aproximadamente:

\[
P(\text{al menos una coincidencia}) \approx 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321
\]

Este enfoque evita el uso explícito del concepto de derangements, aunque la aproximación final está relacionada con la expansión de la función exponencial.

¿Hay algo más que te gustaría explorar o algún ejemplo específico con valores pequeños de \( N \)?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se aplica el principio de inclusión-exclusión en otros problemas de probabilidad?
2. ¿Qué significa la función exponencial \( e^x \) y cómo se relaciona con la probabilidad?
3. ¿Cómo se simplifican series de sumas y restas en problemas de combinatoria?
4. ¿Por qué el número \( e \) aparece en este tipo de problemas de coincidencia?
5. ¿Cómo se calculan combinaciones \( \binom{N}{k} \) en diferentes contextos?
6. ¿Cuándo es útil el enfoque de la probabilidad complementaria en problemas de probabilidad?
7. ¿Cómo se comporta la probabilidad de coincidencia a medida que \( N \) aumenta?
8. ¿Qué otros problemas en la teoría de conjuntos utilizan el principio de inclusión-exclusión?

**Tip:** La comprensión del principio de inclusión-exclusión es clave en problemas de probabilidad que involucran múltiples eventos.

Explore the probability of balls matching their corresponding urns without using derangements. Understand the application of the inclusion-exclusion principle in solving this advanced probability problem. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

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