Considee as sequencias a_k = cos(k\pi/3) e b_k = sen(k\pi/3). Estude a convergência das squencias x_k = (1/(k+1))(a_k, b_k) e y_k = (k/(k+1))(a_k, b_k)))

Vamos analisar a convergência das sequências \( x_k = \frac{1}{k+1} (a_k, b_k) \) e \( y_k = \frac{k}{k+1} (a_k, b_k) \), onde as sequências \( a_k \) e \( b_k \) são definidas por \( a_k = \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) \) e \( b_k = \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) \).

### 1. Comportamento das Sequências \( a_k \) e \( b_k \)

Primeiro, vamos estudar o comportamento das sequências \( a_k \) e \( b_k \), que dependem de \( k \pi / 3 \).

- **Sequência \( a_k = \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) \)**:
  - O valor de \( \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) \) repete-se ciclicamente com período 6, com os seguintes valores:
    \[
    a_k = \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) = \left\{ 1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \dots \right\}
    \]

- **Sequência \( b_k = \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) \)**:
  - Da mesma forma, o valor de \( \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) \) repete-se ciclicamente com período 6, com os seguintes valores:
    \[
    b_k = \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) = \left\{ 0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \dots \right\}
    \]

Portanto, \( a_k \) e \( b_k \) são sequências periódicas com período 6.

### 2. Estudo da Convergência da Sequência \( x_k = \frac{1}{k+1} (a_k, b_k) \)

A sequência \( x_k \) é dada por:
\[
x_k = \frac{1}{k+1} \left( a_k, b_k \right)
\]

- **Magnitude de \( x_k \)**:
  - A norma de \( x_k \), ou seja, o módulo do vetor \( x_k \), é:
    \[
    \|x_k\| = \frac{1}{k+1} \sqrt{a_k^2 + b_k^2}
    \]
  - Como \( a_k^2 + b_k^2 = 1 \) (pelo fato de \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \) para qualquer \( x \)), a norma de \( x_k \) é:
    \[
    \|x_k\| = \frac{1}{k+1}
    \]

- **Comportamento Assintótico**:
  - Quando \( k \to \infty \), temos:
    \[
    \|x_k\| = \frac{1}{k+1} \to 0
    \]
  - Isso implica que a sequência \( x_k \) converge para o vetor \( (0, 0) \) quando \( k \to \infty \).

Conclusão: A sequência \( x_k \) converge para o vetor \( (0, 0) \).

### 3. Estudo da Convergência da Sequência \( y_k = \frac{k}{k+1} (a_k, b_k) \)

A sequência \( y_k \) é dada por:
\[
y_k = \frac{k}{k+1} \left( a_k, b_k \right)
\]

- **Magnitude de \( y_k \)**:
  - A norma de \( y_k \), ou seja, o módulo do vetor \( y_k \), é:
    \[
    \|y_k\| = \frac{k}{k+1} \sqrt{a_k^2 + b_k^2}
    \]
  - Novamente, como \( a_k^2 + b_k^2 = 1 \), a norma de \( y_k \) é:
    \[
    \|y_k\| = \frac{k}{k+1}
    \]

- **Comportamento Assintótico**:
  - Quando \( k \to \infty \), temos:
    \[
    \|y_k\| = \frac{k}{k+1} \to 1
    \]
  - Isso implica que a sequência \( y_k \) não converge para o vetor \( (0, 0) \), mas converge para a sequência periódica \( (a_k, b_k) \), com norma igual a 1.

Conclusão: A sequência \( y_k \) converge para um ciclo periódico, ou seja, converge para a sequência periódica \( (a_k, b_k) \).

### Resumo das Conclusões

1. A sequência \( x_k = \frac{1}{k+1} (a_k, b_k) \) converge para o vetor \( (0, 0) \).
2. A sequência \( y_k = \frac{k}{k+1} (a_k, b_k) \) converge para uma sequência periódica de norma 1, ou seja, para a sequência \( (a_k, b_k) \).

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição. Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. O que significa uma sequência ser periódica?
2. Como o comportamento assintótico pode ser usado para determinar convergência?
3. Quais são as diferenças entre convergência para um ponto fixo e para uma sequência periódica?
4. Como as funções trigonométricas influenciam na convergência das sequências?
5. Qual seria o efeito de adicionar um termo constante às sequências \( x_k \) e \( y_k \)?

**Dica**: Ao estudar a convergência de sequências envolvendo funções trigonométricas, identificar o período dessas funções pode ser crucial para compreender o comportamento da sequência.

Explore the convergence behavior of sequences defined by trigonometric functions, including detailed analysis of sequences x_k = (1/(k+1))(cos(kπ/3), sin(kπ/3)) and y_k = (k/(k+1))(cos(kπ/3), sin(kπ/3)). Understand how trigonometric identities influence convergence and the asymptotic behavior of these sequences. Suitable for college-level mathematics students.

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