En el hospital  de clinicas ,estuvieron realizando un proceso de revision de stock de las vacunas antigripales para poder afrontar el nuevo periodo invernal.antes de que finalice el recuento,le solicitaros de forma urgente,desde la farmacia del hospital,20 vacunas.Decide enviar 20 vacunas tomadas al azar y que la farmacia verifique el vencimiento de las vacunas .suponiendo que el 8% de las vacunas que el hospital tiene en stock estan  vencidas ¿cual es la probabilidad de que entre las vacunas seleccionadas al azar para enviar a la farmacia, no haya ninguna vencida ? 

Este problema se puede resolver utilizando el **modelo de probabilidad binomial**. Vamos a detallar los pasos y conceptos para encontrar la probabilidad de que ninguna de las 20 vacunas seleccionadas esté vencida.

### Paso 1: Definir las variables
- Sabemos que el 8% de las vacunas están vencidas. Esto significa que la probabilidad de que una vacuna esté vencida, \( p \), es:
  \[
  p = 0.08
  \]
- Entonces, la probabilidad de que una vacuna **no esté vencida** es:
  \[
  1 - p = 0.92
  \]
  
### Paso 2: Modelo binomial
El número de vacunas seleccionadas al azar es \( n = 20 \). La cantidad de vacunas vencidas seleccionadas es una variable aleatoria binomial, denotada por \( X \), donde \( X \sim \text{Binomial}(n = 20, p = 0.08) \). Queremos encontrar la probabilidad de que **ninguna** de las 20 vacunas esté vencida, es decir, la probabilidad de que \( X = 0 \).

La fórmula de la probabilidad para una variable binomial es:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
\]
Donde:
- \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial que indica el número de formas de elegir \( k \) éxitos en \( n \) intentos.
- \( k = 0 \), ya que queremos 0 vacunas vencidas.

### Paso 3: Aplicar la fórmula
En nuestro caso, queremos \( P(X = 0) \), así que:

\[
P(X = 0) = \binom{20}{0} (0.08)^0 (0.92)^{20}
\]

- \( \binom{20}{0} = 1 \)
- \( (0.08)^0 = 1 \)
- \( (0.92)^{20} \approx 0.1887 \)

Por lo tanto:

\[
P(X = 0) = 1 \times 1 \times 0.1887 = 0.1887
\]

### Resultado:
La probabilidad de que ninguna de las 20 vacunas seleccionadas esté vencida es aproximadamente **0.1887**, o un **18.87%**.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre los cálculos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambiaría la probabilidad si el porcentaje de vacunas vencidas fuera del 10%?
2. ¿Cómo se calcularía la probabilidad de que al menos una vacuna esté vencida?
3. ¿Qué ocurriría si se seleccionaran más de 20 vacunas?
4. ¿Cómo afecta el tamaño del stock total de vacunas en este cálculo?
5. ¿Qué pasaría si el porcentaje de vacunas vencidas fuera desconocido y solo tuviéramos una estimación?

### Tip:
Para problemas con porcentajes pequeños, como este, a veces es útil aproximar usando la distribución de Poisson.

En el hospital de clínicas, estuvieron realizando un proceso de revisión de stock de las vacunas antigripales para poder afrontar el nuevo periodo invernal. Antes de que finalice el recuento, le solicitaron de forma urgente, desde la farmacia del hospital, 20 vacunas. Decide enviar 20 vacunas tomadas al azar y que la farmacia verifique el vencimiento de las vacunas. Suponiendo que el 8% de las vacunas que el hospital tiene en stock están vencidas, ¿cuál es la probabilidad de que entre las vacunas seleccionadas al azar para enviar a la farmacia no haya ninguna vencida?

Explore how to calculate the probability of selecting 20 random vaccines from a stock where 8% are expired, with none of them being expired. Using binomial distribution, this problem involves key concepts like probability and binomial coefficients. Ideal for students in Grades 10-12.

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