2.	Si un objeto viaja la mitad de su trayectoria total en el último segundo de su caída desde el reposo, halle (a) el tiempo y (b)la altura de su caída. Explique la solución físicamente inaceptable de la ecuación cuadrática del tiempo. 

Este problema trata de la caída libre de un objeto desde el reposo y proporciona una condición especial: el objeto recorre la mitad de su trayectoria total en el último segundo de su caída. Vamos a resolverlo paso a paso utilizando las ecuaciones de la cinemática bajo aceleración constante (en este caso, la gravedad \( g \)).

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### (a) Tiempo total de la caída

1. **Posición de un objeto en caída libre**:

   La fórmula para la posición de un objeto que cae libremente desde el reposo es:

   \[
   h = \frac{1}{2} g t^2
   \]

   donde:
   - \( h \) es la altura total de la caída,
   - \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (\( 9.8 \, \text{m/s}^2 \)),
   - \( t \) es el tiempo total de la caída.

2. **Condición del problema**: 
   
   Según el enunciado, en el último segundo, el objeto recorre la mitad de la trayectoria total. Esto significa que en el último segundo, el objeto recorre una distancia de \( \frac{h}{2} \).

   La distancia recorrida en el último segundo se puede expresar como la diferencia entre la posición al tiempo \( t \) y la posición al tiempo \( t - 1 \):

   \[
   h(t) - h(t-1) = \frac{1}{2} h
   \]

   Esto se traduce en:

   \[
   \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} g t^2 \right)
   \]

3. **Simplificación de la ecuación**:

   Ahora expandimos el término \( (t-1)^2 \) y simplificamos la ecuación:

   \[
   \frac{1}{2} g \left[ t^2 - (t^2 - 2t + 1) \right] = \frac{1}{4} g t^2
   \]

   Esto se reduce a:

   \[
   \frac{1}{2} g (2t - 1) = \frac{1}{4} g t^2
   \]

4. **Eliminamos \( g \) y multiplicamos ambos lados por 4 para simplificar**:

   \[
   4(2t - 1) = t^2
   \]

   Lo que nos lleva a:

   \[
   t^2 - 8t + 4 = 0
   \]

5. **Resolución de la ecuación cuadrática**:

   Usamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática \( at^2 + bt + c = 0 \):

   \[
   t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}
   \]

   Esto nos da:

   \[
   t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2}
   \]
   \[
   t = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2}
   \]
   \[
   t = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2}
   \]
   \[
   t = 4 \pm 2\sqrt{3}
   \]

   Los dos resultados posibles para el tiempo son:

   \[
   t_1 = 4 + 2\sqrt{3} \quad \text{y} \quad t_2 = 4 - 2\sqrt{3}
   \]

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### Solución físicamente inaceptable

Entre estas dos soluciones, el valor de \( t_2 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 0.535 \, \text{segundos} \) es inaceptable físicamente porque el objeto no podría haber recorrido su trayectoria total en menos de un segundo. Por lo tanto, **esta solución se descarta**. 

La única solución válida es:

\[
t = 4 + 2\sqrt{3} \approx 7.464 \, \text{segundos}
\]

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### (b) Altura total de la caída

Una vez obtenido el tiempo, podemos calcular la altura total usando la fórmula \( h = \frac{1}{2} g t^2 \):

\[
h = \frac{1}{2} (9.8) (7.464)^2
\]

Vamos a calcular esta altura:# Definimos las variables para calcular la altura
g = 9.8  # gravedad en m/s^2
t = 7.464  # tiempo en segundos

# Fórmula para la altura total de la caída: h = (1/2) * g * t^2
h = (1/2) * g * t**2
h  # altura total en metrosLa altura total de la caída es aproximadamente \( 273 \, \text{m} \).

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### Resumen:

1. El **tiempo total** de la caída es aproximadamente \( t = 7.464 \, \text{segundos} \).
2. La **altura total** desde la cual cayó el objeto es aproximadamente \( h = 273 \, \text{metros} \).

La solución físicamente inaceptable es el valor de \( t = 4 - 2\sqrt{3} \approx 0.535 \, \text{segundos} \), porque es imposible que un objeto recorra la mitad de su trayectoria en un tiempo tan corto.

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### Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué pasa si el objeto no cae desde el reposo?
2. ¿Cómo cambiarían los resultados si la gravedad fuera diferente (por ejemplo, en otro planeta)?
3. ¿Cómo afecta la resistencia del aire en un problema como este?
4. ¿Qué otras formas hay para resolver ecuaciones cuadráticas?
5. ¿Cómo interpretar gráficamente esta solución?

### Tip:

Siempre verifica la validez física de las soluciones de ecuaciones cuadráticas al resolver problemas de cinemática.

Explore a physics problem involving an object's free fall from rest, where it travels half of its total distance in the last second. Learn to solve the quadratic equation for time and calculate the total height of the fall. Suitable for advanced high school students.

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