Calcular limite lim n -> ∞ ((sqrt(4x ^ 4 + x ^ 2 + 1))/(x ^ 2 + 1))

Vamos calcular o limite:

\[
\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\sqrt{4x^4 + x^2 + 1}}{x^2 + 1}\right)
\]

Primeiro, vamos simplificar a expressão, dividindo o numerador e o denominador pelo maior termo de \(x^2\) no denominador. Note que no denominador, o termo dominante é \(x^2\):

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^4 + x^2 + 1}}{x^2 + 1}
\]

Dividindo o numerador e o denominador por \(x^2\):

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^4\left(4 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}\right)}}{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}
\]

Isso pode ser simplificado para:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2\sqrt{4 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}}}{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}
\]

Podemos cancelar \(x^2\) do numerador e do denominador:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}}}{1 + \frac{1}{x^2}}
\]

Agora, ao deixar \(x\) tender ao infinito, os termos \(\frac{1}{x^2}\) e \(\frac{1}{x^4}\) no numerador, e \(\frac{1}{x^2}\) no denominador, tendem a zero:

\[
\frac{\sqrt{4 + 0 + 0}}{1 + 0} = \frac{\sqrt{4}}{1} = \frac{2}{1} = 2
\]

Portanto, o limite é:

\[
\boxed{2}
\]

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?  
Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Por que dividimos o numerador e o denominador pelo termo de maior grau?
2. Como identificar o termo dominante em uma expressão racional?
3. Em que casos a simplificação por fatoração pode não ser eficiente?
4. Como o comportamento de funções racionais difere ao tender para \(\infty\) em comparação com \(-\infty\)?
5. Quais outros métodos poderiam ser usados para resolver este limite?

**Dica:** Dividir o numerador e o denominador pelo maior termo em expressões com raízes quadradas ajuda a simplificar o limite e a identificar o comportamento dominante conforme \(x\) tende ao infinito.

Learn how to calculate the limit lim x -> ∞ (sqrt(4x^4 + x^2 + 1) / (x^2 + 1)) step-by-step with detailed simplification techniques. This problem involves the limit of a rational function as x approaches infinity, covering concepts of infinity, rational functions, and simplification methods. Suitable for advanced high school students and beyond.

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