Calcular limita te lim \mathbb{R} -> ∞ (sqrt(x ^ 2 + 3x) - sqrt(x ^ 2 + x))

Vamos calcular o limite:

\[
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 + x} \right)
\]

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Para isso, multiplicaremos e dividiremos a expressão pelo conjugado:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 + x} \right)\left( \sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 + x} \right)}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 + x}}
\]

O numerador se torna uma diferença de quadrados:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 3x) - (x^2 + x)}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 + x}}
\]

Simplificando o numerador:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 + x}}
\]

Agora, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por \(x\):

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}
\]

Quando \(x\) tende ao infinito, os termos \(\frac{3}{x}\) e \(\frac{1}{x}\) tendem a zero:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0}} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1
\]

Portanto, o limite é:

\[
\boxed{1}
\]

---

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Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como podemos aplicar a técnica de conjugado em outros limites?
2. Quais são outras formas de simplificar expressões envolvendo raízes quadradas?
3. Como a divisão por \(x\) no numerador e denominador facilita o cálculo de limites infinitos?
4. Em que situações o uso de conjugado é mais eficiente?
5. O que ocorre com a expressão se considerarmos \(x \to -\infty\)?

**Dica:** Quando trabalhar com raízes quadradas em limites, o uso do conjugado é uma técnica poderosa para eliminar a indeterminação.

Learn how to calculate the limit lim sqrt(x^2 + 3x) - sqrt(x^2 + x) as x approaches infinity. This problem involves simplifying expressions with square roots using the conjugate method. Suitable for advanced high school and college students.

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