Tenemos seis bolas y debemos colocarlas al azar en 3 urnas. Calcular la probabilidad de que ninguna urna esté vacía

Para resolver el problema, primero determinamos cuántas formas hay de colocar las seis bolas en tres urnas, y luego cuántas de esas distribuciones tienen la condición de que ninguna urna esté vacía.

### Paso 1: Total de formas de distribuir las bolas
El número total de formas de colocar las seis bolas en tres urnas sin restricciones es \( 3^6 \), porque cada bola tiene tres opciones de urnas.

\[
3^6 = 729
\]

### Paso 2: Distribuciones con ninguna urna vacía (Distribuciones de 6 bolas en 3 urnas no vacías)
Para calcular cuántas distribuciones tienen la condición de que ninguna urna esté vacía, podemos usar el **principio de inclusión-exclusión**. Primero contamos todas las distribuciones posibles y luego restamos las que violan la condición (es decir, las que tienen al menos una urna vacía).

#### Paso 2.1: Número de distribuciones con una o más urnas vacías
1. **Casos con al menos una urna vacía:** Podemos contar las distribuciones en las que alguna urna está vacía usando el principio de inclusión-exclusión.
   
   - Si una urna está vacía, estamos distribuyendo 6 bolas entre 2 urnas, lo que tiene \( 2^6 \) formas de hacerse.
   \[
   2^6 = 64
   \]
   - Hay 3 urnas, por lo que hay \( 3 \times 64 = 192 \) formas de hacer esto (escogemos cuál urna está vacía y distribuimos las bolas entre las otras dos).
   
2. **Casos con dos urnas vacías:** Si dos urnas están vacías, todas las bolas van en una sola urna, lo que tiene \( 1^6 = 1 \) forma de hacerse por cada elección de la urna que no está vacía. Hay 3 urnas para elegir, así que esto ocurre en 3 formas.

#### Paso 2.2: Aplicando el principio de inclusión-exclusión
Ahora restamos los casos con una urna vacía, pero agregamos los casos en los que dos urnas están vacías (pues los hemos restado dos veces):

\[
192 - 3 = 189
\]

#### Paso 2.3: Número de distribuciones con ninguna urna vacía
Finalmente, restamos los casos en los que al menos una urna está vacía del total de distribuciones:

\[
729 - 189 = 540
\]

### Paso 3: Probabilidad
La probabilidad de que ninguna urna esté vacía es el número de distribuciones en las que ninguna urna está vacía dividido entre el número total de distribuciones:

\[
\text{Probabilidad} = \frac{540}{729} = \frac{20}{27}
\]

### Respuesta:
La probabilidad de que ninguna urna esté vacía es \( \frac{20}{27} \).

---

¿Te gustaría que te explique algún paso con más detalle o tienes alguna duda?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el principio de inclusión-exclusión en problemas de conteo?
2. ¿Qué otras situaciones usan combinatoria y principio de inclusión-exclusión?
3. ¿Cómo cambiaría la probabilidad si tuviéramos 4 urnas en lugar de 3?
4. ¿Qué diferencias hay entre este problema y uno donde las bolas no sean distinguibles?
5. ¿Cuál sería el método para resolver este problema si las urnas también estuvieran etiquetadas?

**Tip:** El principio de inclusión-exclusión es útil para resolver problemas donde debes contar elementos cumpliendo varias restricciones.

Learn how to calculate the probability of distributing 6 balls into 3 urns such that none are empty. This solution uses the inclusion-exclusion principle, combinatorics, and probability, suitable for students in Grades 9-12.

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