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calcula el limite y explica bien en español

El límite que necesitas calcular es:

\[
\lim_{{x \to 2}} \left(\frac{{3x^2 + 1}}{{x^2 + 5}}\right)
\]

Para calcular este límite, evaluamos directamente en \(x = 2\), ya que no hay indeterminación (como \(0/0\)):

1. Calcula el numerador: \(3x^2 + 1\)
   \[
   3(2)^2 + 1 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13
   \]

2. Calcula el denominador: \(x^2 + 5\)
   \[
   (2)^2 + 5 = 4 + 5 = 9
   \]

Por lo tanto, el límite es:

\[
\lim_{{x \to 2}} \left(\frac{{3x^2 + 1}}{{x^2 + 5}}\right) = \frac{13}{9}
\]

**Explicación:**

1. **Evaluación directa:** Como la función \( \frac{3x^2 + 1}{x^2 + 5} \) es continua en \(x = 2\), simplemente sustituimos \(x = 2\) directamente en la función para encontrar el límite.
   
2. **Numerador y denominador separados:** Ambos, el numerador y el denominador, son polinomios. Esto significa que no presentan problemas de discontinuidad o indeterminación al evaluarse en cualquier valor de \(x\).

3. **Resultado final:** Al calcular, encontramos que el límite es simplemente la fracción \(\frac{13}{9}\), que es el valor de la función en \(x = 2\).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar más:

1. ¿Qué se entiende por indeterminación \( \frac{0}{0} \) en el cálculo de límites?
2. ¿Cómo se comporta una función continua en un punto en términos de límites?
3. ¿Qué técnicas alternativas existen para calcular límites cuando la evaluación directa falla?
4. ¿Cómo afecta la derivada en la determinación de límites cuando se enfrentan indeterminaciones?
5. ¿Qué ocurre con los límites en funciones que no son continuas en un punto dado?

**Tip:** Cuando calcules límites, primero intenta la evaluación directa. Si encuentras una indeterminación, entonces puedes explorar otros métodos como la factorización o L'Hôpital.

Learn how to calculate the limit lim(x -> 2) (3x^2 + 1) / (x^2 + 5) and understand the steps involved. This problem covers limits of polynomials and direct evaluation techniques. Suitable for advanced high school students.

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