El 30 % de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70 % son 
mujeres. Se sabe que el 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 € mientras que 
el 72 % de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad. a) Elegido uno de los 
clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 €? b) 
Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 €, ¿cuál es la 
probabilidad de que sea mujer? c) Elegido uno de los clientes al azar ¿cuál es la probabilidad de 
que sea mujer y recibiera un crédito inferior a 6000 € ?

El problema plantea un escenario con probabilidades condicionales y totales. Vamos a resolverlo paso a paso utilizando el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes.

### Definiciones:
- \( P(H) = 0.30 \): Probabilidad de que un cliente sea hombre.
- \( P(M) = 0.70 \): Probabilidad de que un cliente sea mujer.
- \( P(C < 6000 | H) = 0.20 \): Probabilidad de que un hombre haya recibido un crédito inferior a 6000 €.
- \( P(C \geq 6000 | M) = 0.72 \): Probabilidad de que una mujer haya recibido un crédito igual o superior a 6000 €.

Primero calculamos la probabilidad de que una mujer haya recibido un crédito inferior a 6000 €:
\[
P(C < 6000 | M) = 1 - P(C \geq 6000 | M) = 1 - 0.72 = 0.28
\]
Entonces, \( P(C < 6000 | M) = 0.28 \).

### a) Probabilidad de que un cliente haya recibido un crédito inferior a 6000 €:

Aplicamos el teorema de la probabilidad total. La probabilidad de recibir un crédito inferior a 6000 € es la suma de las probabilidades condicionales para hombres y mujeres, ponderada por la probabilidad de ser hombre o mujer:
\[
P(C < 6000) = P(C < 6000 | H)P(H) + P(C < 6000 | M)P(M)
\]
Sustituimos los valores:
\[
P(C < 6000) = (0.20)(0.30) + (0.28)(0.70)
\]
\[
P(C < 6000) = 0.06 + 0.196 = 0.256
\]
Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente haya recibido un crédito inferior a 6000 € es **0.256** o **25.6%**.

### b) Probabilidad de que un cliente sea mujer dado que recibió un crédito inferior a 6000 €:

Aquí aplicamos el teorema de Bayes. La probabilidad de que sea mujer dado que recibió un crédito inferior a 6000 € es:
\[
P(M | C < 6000) = \frac{P(C < 6000 | M)P(M)}{P(C < 6000)}
\]
Sustituimos los valores:
\[
P(M | C < 6000) = \frac{(0.28)(0.70)}{0.256}
\]
\[
P(M | C < 6000) = \frac{0.196}{0.256} = 0.7656
\]
Por lo tanto, la probabilidad de que sea mujer dado que recibió un crédito inferior a 6000 € es aproximadamente **0.766** o **76.6%**.

### c) Probabilidad de que un cliente sea mujer y haya recibido un crédito inferior a 6000 €:

Esta probabilidad se calcula directamente como la probabilidad conjunta de ser mujer y recibir un crédito inferior a 6000 €:
\[
P(M \cap C < 6000) = P(C < 6000 | M)P(M)
\]
Sustituimos los valores:
\[
P(M \cap C < 6000) = (0.28)(0.70) = 0.196
\]
Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente sea mujer y haya recibido un crédito inferior a 6000 € es **0.196** o **19.6%**.

---

### Resumen de respuestas:
- a) La probabilidad de que un cliente haya recibido un crédito inferior a 6000 € es **0.256** o **25.6%**.
- b) La probabilidad de que un cliente sea mujer dado que recibió un crédito inferior a 6000 € es **0.766** o **76.6%**.
- c) La probabilidad de que un cliente sea mujer y haya recibido un crédito inferior a 6000 € es **0.196** o **19.6%**.

¿Te gustaría más detalles o aclaraciones? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se aplican estas probabilidades en un contexto real de decisión en un banco?
2. ¿Cómo cambiarían las probabilidades si el porcentaje de hombres y mujeres fuera diferente?
3. ¿Cómo afectaría una política de préstamos diferente a las probabilidades calculadas?
4. ¿Qué sucede si agregamos otra categoría de préstamo (por ejemplo, entre 6000 € y 10000 €)?
5. ¿Cómo se relaciona este problema con el concepto de independencia en probabilidad?

**Tip:** Siempre es útil recordar que el teorema de Bayes te permite actualizar tus creencias sobre una hipótesis basándote en nueva información.

El 30 % de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70 % son mujeres. Se sabe que el 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 € mientras que el 72 % de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad. a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 €? b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 €, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? c) Elegido uno de los clientes al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y recibiera un crédito inferior a 6000 €?

Resuelve un problema de probabilidad sobre clientes de un banco especializado en microcréditos. Aprende a calcular la probabilidad de que un cliente reciba un crédito inferior a 6000 €, usando el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. Adecuado para estudiantes de secundaria superior (Grados 10-12).

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