Dado um polinomio P(X) de grau 4, tal que P(1) =10; P(2) = 20; P(3) = 30 e sabendo que p(x) = 10x + k(x-1)(x-2)(x-3)(x-r), com variavel r a ser determinada, assim, como a contante k. Determine o valor de [p(20) - p(-8)]/10

Dado o polinômio \( P(x) = 10x + k(x-1)(x-2)(x-3)(x-r) \), sabemos que as condições fornecidas são:

- \( P(1) = 10 \)
- \( P(2) = 20 \)
- \( P(3) = 30 \)

Substituindo cada valor de \( x \) nas equações para encontrar \( k \) e \( r \):

### Etapa 1: Aplicando \( P(1) = 10 \)
Substituímos \( x = 1 \) em \( P(x) \):

\[
P(1) = 10(1) + k(1-1)(1-2)(1-3)(1-r) = 10
\]

Como \( (1-1) = 0 \), a parte de \( k \) é anulada, e isso confirma que \( P(1) = 10 \), o que é verdadeiro.

### Etapa 2: Aplicando \( P(2) = 20 \)
Substituímos \( x = 2 \):

\[
P(2) = 10(2) + k(2-1)(2-2)(2-3)(2-r) = 20
\]

Novamente, \( (2-2) = 0 \), então o termo com \( k \) desaparece, e temos:

\[
P(2) = 20
\]

Isso também é verdadeiro.

### Etapa 3: Aplicando \( P(3) = 30 \)
Substituímos \( x = 3 \):

\[
P(3) = 10(3) + k(3-1)(3-2)(3-3)(3-r) = 30
\]

Aqui, \( (3-3) = 0 \), então o termo com \( k \) também desaparece, resultando em \( P(3) = 30 \), o que é correto.

### Etapa 4: Determinando \( r \) e \( k \)
Usamos \( P(4) \) ou outro valor de \( x \) para encontrar os valores de \( r \) e \( k \).

Dado um polinômio P(X) de grau 4, tal que P(1) = 10; P(2) = 20; P(3) = 30 e sabendo que P(x) = 10x + k(x-1)(x-2)(x-3)(x-r), com variável r a ser determinada, assim como a constante k. Determine o valor de [P(20) - P(-8)]/10.

Learn how to determine the constants r and k in a polynomial function of degree 4 given specific conditions. This problem involves applying algebraic concepts and solving for unknowns. Suitable for students in Grades 11-12.

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