Determinar un polinomio 𝐾(𝒙) de tercer grado sabiendo que:
 −𝟐 es raíz de 𝐾(𝒙)
 𝑲(𝒙) es divisible por (𝒙 + 𝟑)
 El coeficiente principal es -1
 El término independiente es 0

Queremos encontrar un polinomio \( K(x) \) de tercer grado que cumpla con las siguientes condiciones:

1. \( -2 \) es una raíz de \( K(x) \).
2. \( K(x) \) es divisible por \( (x + 3) \), lo que implica que \( -3 \) es otra raíz de \( K(x) \).
3. El coeficiente principal es \( -1 \), lo que significa que el término de mayor grado (cúbico) tiene un coeficiente de \( -1 \).
4. El término independiente es 0, lo que indica que \( x = 0 \) también es raíz.

### Paso 1: Forma del polinomio

Dado que conocemos tres raíces (\( -2 \), \( -3 \), y \( 0 \)), podemos expresar \( K(x) \) de la siguiente manera:

\[
K(x) = a(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)
\]

donde \( r_1 = 0 \), \( r_2 = -2 \), y \( r_3 = -3 \). El coeficiente \( a \) es el coeficiente principal, que nos dicen que es \( -1 \).

Por lo tanto, el polinomio se escribe como:

\[
K(x) = -1(x)(x + 2)(x + 3)
\]

### Paso 2: Expandir el polinomio

Ahora expandimos el polinomio:

\[
K(x) = -1 \cdot x \cdot (x + 2)(x + 3)
\]

Primero multiplicamos \( (x + 2)(x + 3) \):

\[
(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6
\]

Entonces, tenemos:

\[
K(x) = -1 \cdot x(x^2 + 5x + 6)
\]

Multiplicamos por \( x \):

\[
K(x) = -x(x^2 + 5x + 6) = -x^3 - 5x^2 - 6x
\]

### Paso 3: Resultado final

El polinomio que cumple con las condiciones es:

\[
K(x) = -x^3 - 5x^2 - 6x
\]

### ¿Alguna duda o quieres más detalles sobre el proceso?

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#### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede factorizar un polinomio como el obtenido?
2. ¿Qué otras propiedades tiene un polinomio que es divisible por \( (x + 3) \)?
3. ¿Cómo se determinan los coeficientes de un polinomio a partir de sus raíces?
4. ¿Qué sucede si cambiamos el coeficiente principal de \( -1 \) a otro valor?
5. ¿Cómo afecta el término independiente a las raíces de un polinomio?

#### Tip: 
Para comprobar que un polinomio es divisible por un factor, puedes usar la división sintética o el teorema del residuo.

Determinar un polinomio 𝐾(𝒙) de tercer grado sabiendo que: -2 es raíz de 𝐾(𝒙), 𝑲(𝒙) es divisible por (𝒙 + 𝟑), el coeficiente principal es -1, y el término independiente es 0.

Learn how to determine a third-degree polynomial K(x) with roots -2, -3, and 0. The solution involves factorization and expansion, using key algebraic concepts such as polynomial roots and the Factor Theorem. Suitable for students in Grades 10-12.

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