Observa la siguiente función. g (x) = ax3 + bx2 – 4. Si calculas g ′ (x) obtienes una nueva función, la cual puedes derivar nuevamente y obtener la segunda derivada de g (x), que se denota como g ′′ (x). Si se sabe que 𝑔’(1) = −9/2 . y que 𝑔"(1) = −3. ¿Cuál es el parámetro de los valores a y b? 

La función que nos dan es:

\[
g(x) = ax^3 + bx^2 - 4
\]

### Paso 1: Primera derivada de \( g(x) \)

Para encontrar \( g'(x) \), derivamos \( g(x) \) respecto a \( x \):

\[
g'(x) = 3ax^2 + 2bx
\]

### Paso 2: Segunda derivada de \( g(x) \)

Ahora, derivamos \( g'(x) \) para obtener la segunda derivada \( g''(x) \):

\[
g''(x) = 6ax + 2b
\]

### Paso 3: Usamos las condiciones dadas

Sabemos que \( g'(1) = -\frac{9}{2} \) y \( g''(1) = -3 \). Usamos estas ecuaciones para encontrar \( a \) y \( b \).

1. Para \( g'(1) \):

\[
g'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) = 3a + 2b
\]
\[
3a + 2b = -\frac{9}{2} \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

2. Para \( g''(1) \):

\[
g''(1) = 6a(1) + 2b = 6a + 2b
\]
\[
6a + 2b = -3 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

### Paso 4: Resolución del sistema de ecuaciones

Restamos la Ecuación 1 de la Ecuación 2:

\[
(6a + 2b) - (3a + 2b) = -3 - \left(-\frac{9}{2}\right)
\]
\[
6a + 2b - 3a - 2b = -3 + \frac{9}{2}
\]
\[
3a = \frac{3}{2}
\]
\[
a = \frac{1}{2}
\]

### Paso 5: Encontrar \( b \)

Sustituimos \( a = \frac{1}{2} \) en la Ecuación 1:

\[
3\left(\frac{1}{2}\right) + 2b = -\frac{9}{2}
\]
\[
\frac{3}{2} + 2b = -\frac{9}{2}
\]
Restamos \( \frac{3}{2} \) de ambos lados:
\[
2b = -\frac{9}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{12}{2} = -6
\]
\[
b = -3
\]

### Respuesta final:
Los valores de los parámetros son:

\[
a = \frac{1}{2}, \quad b = -3
\]

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan funciones polinómicas en general?
2. ¿Qué aplicaciones tienen las derivadas en física y economía?
3. ¿Cómo se puede encontrar la derivada de una función con más términos?
4. ¿Qué significa que una derivada sea negativa en términos geométricos?
5. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones en álgebra?

**Tip:** Para derivar un polinomio, simplemente aplica la regla de la potencia para cada término, reduciendo el exponente en 1 y multiplicando por el exponente anterior.

Observa la siguiente función. g(x) = ax^3 + bx^2 – 4. Si calculas g′(x) obtienes una nueva función, la cual puedes derivar nuevamente y obtener la segunda derivada de g(x), que se denota como g″(x). Si se sabe que g′(1) = −9/2 y que g″(1) = −3, ¿cuál es el parámetro de los valores a y b?

Learn how to find the values of coefficients a and b for the polynomial g(x) = ax^3 + bx^2 – 4 using first and second derivatives. The problem involves applying the power rule and solving a system of linear equations, suitable for Grades 10-12.

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