Ejercicio III. El cociente y el residuo respectivamente de la división (𝒙
𝟔 + 𝟓𝒙
𝟒 +
𝟑𝒙
𝟐 − 𝟐𝒙) 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝒙
𝟐 − 𝒙 + 𝟑) son:

Para resolver el ejercicio, que implica encontrar el cociente y el residuo de la división de dos polinomios, vamos a usar **división de polinomios**.

Dado:

- \( P(x) = x^6 + 5x^4 + 3x^2 - 2x \)
- Dividido entre \( D(x) = x^2 - x + 3 \)

Procederemos paso a paso para realizar la división larga de polinomios:

### Paso 1: División larga de polinomios
Dividimos el término de mayor grado del dividendo \( P(x) \) entre el término de mayor grado del divisor \( D(x) \). Esto es \( \frac{x^6}{x^2} = x^4 \). Entonces, multiplicamos todo el divisor \( D(x) \) por \( x^4 \) y restamos el resultado de \( P(x) \).

### Paso 2: Continuar la división
Repetimos el proceso, dividiendo el término de mayor grado del nuevo dividendo por el término de mayor grado del divisor, hasta llegar a un residuo cuyo grado sea menor que el divisor \( D(x) \).

---

Permíteme realizar la división de los polinomios para obtener el cociente y el residuo.El cociente y el residuo de la división \( \frac{x^6 + 5x^4 + 3x^2 - 2x}{x^2 - x + 3} \) son:

- Cociente: \( x^4 + x^3 + 3x^2 - 6 \)
- Residuo: \( -8x + 18 \)

¿Te gustaría más detalles sobre el procedimiento de la división o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se realiza la división larga de polinomios en general?
2. ¿Qué relación tienen los grados del cociente y el dividendo en una división de polinomios?
3. ¿Por qué el residuo tiene un grado menor que el divisor?
4. ¿Cómo verificar si el cociente y el residuo son correctos?
5. ¿Qué ocurre si el divisor es un polinomio de mayor grado que el dividendo?

**Tip**: El grado del residuo en una división de polinomios siempre debe ser menor que el grado del divisor.

Ejercicio III. El cociente y el residuo respectivamente de la división (x^6 + 5x^4 + 3x^2 - 2x) entre (x^2 - x + 3) son:

Learn how to find the quotient and remainder of the polynomial division (x^6 + 5x^4 + 3x^2 - 2x) by (x^2 - x + 3). This step-by-step solution covers key algebraic concepts including polynomial division and the degree rule, suitable for students in Grades 10-12.

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