Quel est le nombre à quatre chiffres inférieur à 5000 qui est divisible par 2, par 3, par 4, … par 10 ?

Nous cherchons le plus grand nombre à quatre chiffres, inférieur à 5000, qui est divisible par tous les nombres de 2 à 10. Ce type de nombre est appelé un **plus petit commun multiple (PPCM)** des nombres donnés.

### Étape 1 : Calcul du PPCM de 2 à 10
Commençons par calculer le PPCM des nombres de 2 à 10. Le PPCM est le plus petit nombre qui est divisible par chacun de ces nombres.

Les facteurs premiers des nombres de 2 à 10 sont les suivants :
- \( 2 = 2 \)
- \( 3 = 3 \)
- \( 4 = 2^2 \)
- \( 5 = 5 \)
- \( 6 = 2 \times 3 \)
- \( 7 = 7 \)
- \( 8 = 2^3 \)
- \( 9 = 3^2 \)
- \( 10 = 2 \times 5 \)

Le PPCM est obtenu en prenant les puissances maximales de chaque facteur premier :
- \( 2^3 \) (du 8)
- \( 3^2 \) (du 9)
- \( 5 \) (du 5)
- \( 7 \) (du 7)

Donc, le PPCM est :

\[
PPCM(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520
\]

### Étape 2 : Trouver le plus grand multiple inférieur à 5000
Le PPCM de ces nombres est \( 2520 \). Le plus grand multiple de \( 2520 \) qui est inférieur à 5000 est :

\[
2520 \times 1 = 2520
\quad \text{et} \quad
2520 \times 2 = 5040 \quad (\text{trop grand})
\]

Donc, **le plus grand nombre à quatre chiffres inférieur à 5000 et divisible par 2, 3, 4, … 10 est \( \mathbf{2520} \).**

### Questions supplémentaires
1. Comment calcule-t-on le PPCM de deux nombres ?
2. Qu'est-ce qu'un facteur premier et comment le déterminer ?
3. Pourquoi \( 2520 \) est-il divisible par tous les nombres de 2 à 10 ?
4. Existe-t-il d'autres méthodes pour trouver ce type de nombres ?
5. Comment généraliser ce type de problème à des nombres plus grands ?

### Astuce :
Le PPCM est très utile pour résoudre des problèmes de synchronisation ou de cycles périodiques où plusieurs événements doivent se produire en même temps.

Découvrez comment déterminer le plus grand nombre à quatre chiffres inférieur à 5000 et divisible par tous les nombres de 2 à 10 en utilisant le concept du plus petit commun multiple (PPCM). Ce problème explore la divisibilité et la factorisation en nombres premiers. Convient aux élèves de la 9ème à la 11ème année.

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