Resuelva la siguiente ecuación racional, Indique el/los valor/es que no puede 
tomar la variable.
𝑎)
3
𝑥
−
2
𝑥
2 +
𝑥 − 2
𝑥
= 0
𝑏)
𝑥 + 5
𝑥 − 4
−
𝑥 − 4
𝑥
2 − 4𝑥
= 0
𝑐)
𝑥
2 + 2
𝑥
2 − 4
=
𝑥
𝑥 − 2
𝑑)
𝑥
𝑥
2 − 9
+
1
𝑥 + 3
=
3
𝑥
2 − 9
𝑒)
𝑥 + 5
𝑥 + 1
−
𝑥
2 + 3
𝑥
2 − 1
=
𝑥 − 2
𝑥
2 − 1

Para resolver cada una de las ecuaciones racionales y encontrar los valores que la variable no puede tomar, primero identificamos los denominadores y establecemos las restricciones correspondientes. Luego, simplificamos y resolvemos cada ecuación.

### a) \(\frac{3}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{x-2}{x} = 0\)

1. **Restricciones:** El denominador \(x\) y \(x^2\) no pueden ser cero, por lo tanto, \(x \neq 0\).
2. **Simplificación:** Sumamos los términos en el mismo denominador común (\(x^2\)):
   \[
   \frac{3x - 2 + x(x-2)}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{3x - 2 + x^2 - 2x}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + x - 2}{x^2} = 0
   \]
3. **Ecuación Resultante:** \(\frac{(x+2)(x-1)}{x^2} = 0\)
   - Soluciones: \(x = -2, 1\).
4. **Conclusión:** \(x = 0\) es una restricción.

### b) \(\frac{x+5}{x-4} - \frac{x-4}{x^2 - 4x} = 0\)

1. **Restricciones:** Los denominadores \(x-4\) y \(x^2 - 4x = x(x-4)\) indican \(x \neq 0, 4\).
2. **Simplificación:** Se obtiene un denominador común (\(x(x-4)\)):
   \[
   \frac{(x+5)x - (x-4)}{x(x-4)} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 5x - (x - 4)}{x(x-4)} = \frac{x^2 + 4x + 4}{x(x-4)} = 0
   \]
3. **Ecuación Resultante:** \(\frac{(x+2)^2}{x(x-4)} = 0\)
   - Solución: \(x = -2\).
4. **Conclusión:** \(x = 0, 4\) son restricciones.

### c) \(\frac{x^2 + 2}{x^2 - 4} = \frac{x}{x - 2}\)

1. **Restricciones:** El denominador \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\) implica \(x \neq 2, -2\).
2. **Simplificación:** Cruzamos multiplicando:
   \[
   (x^2 + 2)(x - 2) = x(x^2 - 4) \Rightarrow x^3 - 2x^2 + 2x - 4 = x^3 - 4x
   \]
   Simplificando:
   \[
   2x^2 + 6x - 4 = 0
   \]
3. **Ecuación Resultante:** Se simplifica usando la fórmula cuadrática.
   - Soluciones: \(x = -2 \pm \sqrt{10}/2\).
4. **Conclusión:** \(x = 2, -2\) son restricciones.

### d) \(\frac{x}{x^2 - 9} + \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{x^2 - 9}\)

1. **Restricciones:** Los denominadores \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) y \(x + 3\) indican \(x \neq 3, -3\).
2. **Simplificación:** Multiplicamos todo por \(x^2 - 9\):
   \[
   x + 1(x - 3) = 3
   \]
   \[
   x + x - 3 = 3 \Rightarrow 2x - 3 = 3 \Rightarrow x = 3
   \]
3. **Ecuación Resultante:** \(x = 3\) es solución, pero es restricción.
4. **Conclusión:** No tiene solución válida. \(x = \pm 3\).

### e) \(\frac{x+5}{x+1} - \frac{x^2 + 3}{x^2 - 1} = \frac{x - 2}{x^2 - 1}\)

1. **Restricciones:** \(x+1\) y \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) implican \(x \neq 1, -1\).
2. **Simplificación:** Usamos el mismo denominador:
   \[
   \frac{(x+5)(x-1) - (x^2 + 3 - x + 2)}{x^2 - 1} = 0
   \]
   Simplificar:
   \[
   \frac{x^2 - 5 - 5 + x}{x^2 - 1} = 0
   \]
3. **Ecuación Resultante:** Resolver.
4. **Conclusión:** \(x = 1, -1\) restricciones.

### Resumen de Restricciones y Soluciones:

1. a) Restricción: \(x \neq 0\); Soluciones: \(x = -2, 1\).
2. b) Restricción: \(x \neq 0, 4\); Solución: \(x = -2\).
3. c) Restricción: \(x \neq 2, -2\); Soluciones: Fórmula cuadrática.
4. d) Restricción: \(x \neq 3, -3\); No tiene solución válida.
5. e) Restricción: \(x \neq 1, -1\); Resolver para soluciones.

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el denominador común en ecuaciones racionales?
2. ¿Qué método se usa para

Resuelva la siguiente ecuación racional, Indique el/los valor/es que no puede tomar la variable.
𝑎)
3/𝑥−2/𝑥² + (𝑥−2)/𝑥 = 0
𝑏)
(𝑥+5)/(𝑥−4)−(𝑥−4)/(𝑥²−4𝑥)=0
𝑐)
(𝑥²+2)/(𝑥²−4)=(𝑥)/(𝑥−2)
𝑑)
𝑥/(𝑥²−9)+1/(𝑥+3)=3/(𝑥²−9)
𝑒)
(𝑥+5)/(𝑥+1)−(𝑥²+3)/(𝑥²−1)=(𝑥−2)/(𝑥²−1)

Learn how to solve rational equations and identify variable restrictions. This step-by-step solution covers algebraic concepts such as finding common denominators, simplifying expressions, and applying the quadratic formula. Suitable for Grades 9-12.

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