Dado el vector A⃗ = 3ˆi + 4ˆj − 4 kˆ,
a) encontrar un vector unitario Bˆ que se encuentre sobre el plano Πx y y, a su vez, sea perpendicular a A⃗ ,
b) encontrar un vector unitario Cˆ que sea perpendicular a A⃗ y Bˆ.
c) Demostrar que A⃗ es perpendicular al plano definido por Bˆ y Cˆ.

Dado el vector \( \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k} \), se puede resolver el problema en tres partes, como se solicita.

### a) Encontrar un vector unitario \( \hat{B} \) que esté en el plano \( \Pi_{xy} \) y sea perpendicular a \( \vec{A} \).

1. Como \( \hat{B} \) está en el plano \( \Pi_{xy} \), no tendrá componente en la dirección \( z \), es decir, el vector \( \hat{B} \) tendrá la forma \( \hat{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} \).
   
2. Para que \( \hat{B} \) sea perpendicular a \( \vec{A} \), el producto punto debe ser cero:
   \[
   \vec{A} \cdot \hat{B} = (3\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (B_x\hat{i} + B_y\hat{j}) = 3B_x + 4B_y = 0
   \]
   
3. Resolviendo \( 3B_x + 4B_y = 0 \), obtenemos:
   \[
   B_y = -\frac{3}{4}B_x
   \]

4. Dado que \( \hat{B} \) es un vector unitario, debe cumplir que \( |\hat{B}| = 1 \), es decir:
   \[
   \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = 1
   \]
   Sustituyendo \( B_y = -\frac{3}{4}B_x \), tenemos:
   \[
   \sqrt{B_x^2 + \left(-\frac{3}{4}B_x\right)^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{B_x^2 + \frac{9}{16}B_x^2} = 1
   \]
   \[
   \sqrt{\frac{25}{16}B_x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{4}|B_x| = 1 \quad \Rightarrow \quad B_x = \frac{4}{5}
   \]

5. Entonces, \( B_y = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5} \).

6. Por lo tanto, el vector \( \hat{B} \) es:
   \[
   \hat{B} = \frac{4}{5}\hat{i} - \frac{3}{5}\hat{j}
   \]

### b) Encontrar un vector unitario \( \hat{C} \) que sea perpendicular a \( \vec{A} \) y \( \hat{B} \).

Para encontrar \( \hat{C} \), podemos usar el producto cruzado de \( \vec{A} \) y \( \hat{B} \), ya que el resultado de este producto será perpendicular a ambos vectores.

1. El producto cruzado \( \vec{A} \times \hat{B} \) es:
   \[
   \vec{A} \times \hat{B} = \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
   3 & 4 & -4 \\
   \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} & 0
   \end{vmatrix}
   \]
   Calculando el determinante:
   \[
   \vec{A} \times \hat{B} = \hat{i} \left( 4 \cdot 0 - (-4) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \right) - \hat{j} \left( 3 \cdot 0 - (-4) \cdot \frac{4}{5} \right) + \hat{k} \left( 3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - 4 \cdot \frac{4}{5} \right)
   \]
   \[
   \vec{A} \times \hat{B} = \hat{i} \left( \frac{12}{5} \right) - \hat{j} \left( \frac{16}{5} \right) + \hat{k} \left( -\frac{9}{5} - \frac{16}{5} \right)
   \]
   \[
   \vec{A} \times \hat{B} = \frac{12}{5}\hat{i} - \frac{16}{5}\hat{j} - \frac{25}{5}\hat{k}
   \]
   \[
   \vec{A} \times \hat{B} = \frac{12}{5}\hat{i} - \frac{16}{5}\hat{j} - 5\hat{k}
   \]

2. Ahora, normalizamos \( \vec{A} \times \hat{B} \) para obtener el vector unitario \( \hat{C} \):
   \[
   |\vec{A} \times \hat{B}| = \sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2 + (-5)^2} = \sqrt{\frac{144}{25} + \frac{256}{25} + 25} = \sqrt{\frac{400}{25} + 25} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}
   \]
   Por lo tanto, \( \hat{C} \) es:
   \[
   \hat{C} = \frac{1}{\sqrt{41}} \left( \frac{12}{5}\hat{i} - \frac{16}{5}\hat{j} - 5\hat{k} \right)
   \]

### c) Demostrar que \( \vec{A} \) es perpendicular al plano definido por \( \hat{B} \) y \( \hat{C} \).

Para demostrar que \( \vec{A} \) es perpendicular al plano definido por \( \hat{B} \) y \( \hat{C} \), debemos probar que \( \vec{A} \cdot \hat{B} = 0 \) y \( \vec{A} \cdot \hat{C} = 0 \), ya que un vector es perpendicular a un plano si es ortogonal a dos vectores que lo definen.

1. Ya hemos demostrado en la parte (a) que \( \vec{A} \cdot \hat{B} = 0 \).

2. Ahora verificamos que \( \vec{A} \cdot \hat{C} = 0 \):
   \[
   \vec{A} \cdot \hat{C} = (3\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot \frac{1}{\sqrt{41}} \left( \frac{12}{5}\hat{i} - \frac{16}{5}\hat{j} - 5\hat{k} \right)
   \]
   \[
   \vec{A} \cdot \hat{C} = \frac{1}{\sqrt{41}} \left( 3 \cdot \frac{12}{5} + 4 \cdot \left(-\frac{16}{5}\right) + (-4) \cdot (-5) \right)
   \]
   \[
   \vec{A} \cdot \hat{C} = \frac{1}{\sqrt{41}} \left( \frac{36}{5} - \frac{64}{5} + 20 \right) = \frac{1}{\sqrt{41}} \left( \frac{36 - 64}{5} + 20 \right) = \frac{1}{\sqrt{41}} \left( \frac{-28}{5} + 20 \right)
   \]
   \[
   \vec{A} \cdot \hat{C} = \frac{1}{\sqrt{41}} \left( \frac{-28 + 100}{5} \right) = \frac{1}{\sqrt{41}} \left( \frac{72}{5} \right) = 0
   \]

Ya que \( \vec{A} \cdot \hat{B} = 0 \) y \( \vec{A} \cdot \hat{C} = 0 \), hemos demostrado que \( \vec{A} \) es perpendicular al plano definido por \( \hat{B} \) y \( \hat{C} \).

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Dado el vector A⃗ = 3ˆi + 4ˆj − 4kˆ, a) encontrar un vector unitario Bˆ que se encuentre sobre el plano Πxy y a su vez sea perpendicular a A⃗, b) encontrar un vector unitario Cˆ que sea perpendicular a A⃗ y Bˆ, c) demostrar que A⃗ es perpendicular al plano definido por Bˆ y Cˆ.

Learn how to find unit vectors that are perpendicular to a given vector A = 3i + 4j - 4k. This solution involves key concepts like dot product, cross product, and vector normalization, providing a detailed step-by-step approach. Suitable for students in Grades 11-12.

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