Sea a = ⟨2, 2, 1⟩, b = ⟨4,−3, 1⟩ y c = ⟨3, 1,−2⟩. Determine las siguientes operaciones y determine
el ángulo entre los vectores involucrados en cada producto (Mediante el determinante).
a) a × b
b) b × a
c) a × c
d) c × b
e) c × c

Para resolver el problema, calcularemos el producto cruzado de los vectores dados y luego determinaremos el ángulo entre los vectores involucrados usando el determinante.

### Definiciones y Fórmulas:

1. **Producto Cruzado**: El producto cruzado de dos vectores \( \mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle \) y \( \mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle \) en \(\mathbb{R}^3\) es un nuevo vector dado por:
   \[
   \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \rangle
   \]

2. **Ángulo entre dos vectores**: El ángulo \( \theta \) entre dos vectores \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) se puede calcular mediante:
   \[
   \sin \theta = \frac{|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}
   \]
   Donde \( |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| \) es la magnitud del producto cruzado y \( |\mathbf{u}| \), \( |\mathbf{v}| \) son las magnitudes de los vectores \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) respectivamente.

### Cálculos:

#### a) \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \)
\[
\mathbf{a} = \langle 2, 2, 1 \rangle, \quad \mathbf{b} = \langle 4, -3, 1 \rangle
\]
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \langle 2(1) - 1(-3), 1(4) - 2(1), 2(-3) - 2(4) \rangle = \langle 2 + 3, 4 - 2, -6 - 8 \rangle = \langle 5, 2, -14 \rangle
\]

#### b) \( \mathbf{b} \times \mathbf{a} \)
\[
\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \langle -5, -2, 14 \rangle
\]

#### c) \( \mathbf{a} \times \mathbf{c} \)
\[
\mathbf{c} = \langle 3, 1, -2 \rangle
\]
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \langle 2(-2) - 1(1), 1(3) - 2(-2), 2(1) - 2(3) \rangle = \langle -4 - 1, 3 + 4, 2 - 6 \rangle = \langle -5, 7, -4 \rangle
\]

#### d) \( \mathbf{c} \times \mathbf{b} \)
\[
\mathbf{c} \times \mathbf{b} = \langle 1(1) - (-2)(-3), (-2)(4) - 3(1), 3(-3) - 1(4) \rangle = \langle 1 - 6, -8 - 3, -9 - 4 \rangle = \langle -5, -11, -13 \rangle
\]

#### e) \( \mathbf{c} \times \mathbf{c} \)
El producto cruzado de un vector consigo mismo es siempre el vector cero:
\[
\mathbf{c} \times \mathbf{c} = \mathbf{0}
\]

### Ángulos:

#### Magnitudes:
\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3, \quad |\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{26}
\]
\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}
\]

#### a) Ángulo entre \( \mathbf{a} \) y \( \mathbf{b} \):
\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-14)^2} = \sqrt{225} = 15
\]
\[
\sin \theta = \frac{15}{3 \times \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}, \quad \theta = \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)
\]

#### b) Ángulo entre \( \mathbf{b} \) y \( \mathbf{a} \):
Es el mismo que en el caso a).

#### c) Ángulo entre \( \mathbf{a} \) y \( \mathbf{c} \):
\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{c}| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2 + (-4)^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}
\]
\[
\sin \theta = \frac{3\sqrt{10}}{3 \times \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{14}}, \quad \theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{14}}\right)
\]

#### d) Ángulo entre \( \mathbf{c} \) y \( \mathbf{b} \):
\[
|\mathbf{c} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(-5)^2 + (-11)^2 + (-13)^2} = \sqrt{315} = \sqrt{315}
\]
\[
\sin \theta = \frac{\sqrt{315}}{\sqrt{14} \times \sqrt{26}}, \quad \theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{315}}{\sqrt{364}}\right)
\]

#### e) Ángulo entre \( \mathbf{c} \) y \( \mathbf{c} \):
El ángulo no está definido ya que el producto cruzado es cero.

### Resumen:
- \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \langle 5, 2, -14 \rangle \)
- \( \mathbf{b} \times \mathbf{a} = \langle -5, -2, 14 \rangle \)
- \( \mathbf{a} \times \mathbf{c} = \langle -5, 7, -4 \rangle \)
- \( \mathbf{c} \times \mathbf{b} = \langle -5, -11, -13 \rangle \)
- \( \mathbf{c} \times \mathbf{c} = \mathbf{0} \)

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se determina la magnitud de un vector?
2. ¿Qué representa el producto cruzado de dos vectores?
3. ¿Qué propiedades tiene el producto cruzado?
4. ¿Cómo se relaciona el producto cruzado con el área de un paralelogramo?
5. ¿Cómo se calcula el producto punto y qué diferencia tiene con el producto cruzado?

**Tip**: El producto cruzado entre dos vectores no es conmutativo, es decir, \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \neq \mathbf{b} \times \mathbf{a} \), y de hecho, \( \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \).

Learn how to calculate the cross product of vectors and determine the angles between them using determinants. This mathematical problem involves vector algebra in R^3 and covers formulas for cross products and angle calculations. Suitable for university-level students and anyone interested in vector algebra and geometry.

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