4.	Se reparte 3000 soles entre 4 personas de tal manera que a la primera le
corresponda 400 soles más que a la segunda; a ésta, 4/5 de lo que le
corresponde a la tercera; y ésta 100 soles más de lo que le corresponde a la
cuarta. ¿Cuánto recibió la segunda persona?


Para resolver este problema, definiremos las cantidades correspondientes a cada persona usando variables.

### Definición de Variables

- Sea \( x \) el monto recibido por la **segunda persona** (en soles).
- Según el problema:
  - La **primera persona** recibe \( x + 400 \) soles (400 soles más que la segunda).
  - La **tercera persona** recibe \( \frac{5}{4}x \) soles (ya que la segunda recibe \( \frac{4}{5} \) de lo que recibe la tercera, esto implica que la tercera recibe \( \frac{5}{4}x \)).
  - La **cuarta persona** recibe \( \frac{5}{4}x - 100 \) soles (100 soles menos que la tercera).

Sabemos que la suma total de todas las cantidades es 3000 soles:

\[
(x + 400) + x + \frac{5}{4}x + \left( \frac{5}{4}x - 100 \right) = 3000
\]

### Paso 1: Simplificar la Ecuación

Simplifiquemos la ecuación sumando los términos semejantes:

\[
x + 400 + x + \frac{5}{4}x + \frac{5}{4}x - 100 = 3000
\]

Combina los términos semejantes:

\[
2x + \frac{5}{4}x + \frac{5}{4}x + 300 = 3000
\]

Simplifica aún más:

\[
2x + \frac{10}{4}x + 300 = 3000
\]

\[
2x + \frac{5}{2}x + 300 = 3000
\]

Multiplica todos los términos por 2 para eliminar la fracción:

\[
4x + 5x + 600 = 6000
\]

\[
9x + 600 = 6000
\]

### Paso 2: Resolver para \( x \)

Resta 600 de ambos lados:

\[
9x = 5400
\]

Divide entre 9:

\[
x = 600
\]

### Paso 3: Verificar y Responder

La segunda persona recibió **600 soles**.

#### Verificación

- **Primera persona:** \( x + 400 = 600 + 400 = 1000 \) soles.
- **Segunda persona:** \( x = 600 \) soles.
- **Tercera persona:** \( \frac{5}{4}x = \frac{5}{4} \times 600 = 750 \) soles.
- **Cuarta persona:** \( \frac{5}{4}x - 100 = 750 - 100 = 650 \) soles.

Sumamos todos los montos para verificar:

\[
1000 + 600 + 750 + 650 = 3000
\]

La suma es correcta, por lo que la solución es válida.

### Respuesta

La **segunda persona** recibió **600 soles**.

¿Te gustaría más detalles sobre el proceso o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se utilizan ecuaciones lineales para resolver problemas de reparto?
2. ¿Qué métodos pueden emplearse para resolver sistemas de ecuaciones con fracciones?
3. ¿Cómo cambiarían los resultados si las condiciones de reparto fueran distintas?
4. ¿Cómo se interpreta un problema de reparto proporcional?
5. ¿Cuáles son los errores comunes al resolver problemas de reparto de cantidades?

**Tip:** Al enfrentar problemas con proporciones o comparaciones, convertir todas las relaciones a ecuaciones algebraicas claras facilita encontrar la solución.

Explore how to solve a proportional distribution problem where 3000 soles are distributed among 4 people based on specific rules. Discover the step-by-step solution and calculations involved in determining the amount received by the second person. Suitable for high school students studying algebra and linear equations.

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