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Ao rotacionar a figura em torno do eixo y, será gerado um sólido geométrico. Qual é o volume deste sólido?   

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo \(y\), precisamos analisar as diferentes seções da figura.

### Análise da Figura

A figura tem três seções principais:

1. **Um quarto de círculo à esquerda:**
   - Raio: 6 cm
   - Centro: \((0, 6)\)

2. **Uma seção retangular no meio:**
   - Largura: 10 cm
   - Altura: 1 cm

3. **Outro quarto de círculo à direita:**
   - Raio: 5 cm
   - Centro: \((10, 1)\)

Vamos calcular o volume gerado pela rotação de cada uma dessas seções e somá-los para obter o volume total.

### Volume do Quarto de Círculo à Esquerda

O volume de rotação para um quarto de círculo em torno do eixo \(y\) é dado por:

\[
V_1 = \pi \int_{0}^{6} (6^2 - x^2) \, dy
\]

Mas, como estamos girando em torno do eixo \(y\), precisamos resolver isso no contexto correto:

\[
V_1 = \frac{\pi r^2}{4} \times altura = \frac{\pi (6)^2}{4} \times (2 \times 6) = \frac{36\pi}{4} \times 12 = 108\pi \text{ cm}^3
\]

### Volume da Seção Retangular no Meio

Para o volume da seção retangular, que é uma área plana girando em torno do eixo \(y\), temos:

\[
V_2 = \pi \times (10^2 - 0^2) \times 1 = 100\pi \times 1 = 100\pi \text{ cm}^3
\]

### Volume do Quarto de Círculo à Direita

Similar ao primeiro quarto de círculo, mas com raio \(r = 5\) cm:

\[
V_3 = \frac{\pi (5)^2}{4} \times (2 \times 5) = \frac{25\pi}{4} \times 10 = 62.5\pi \text{ cm}^3
\]

### Volume Total

Somando os volumes das três seções:

\[
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 = 108\pi + 100\pi + 62.5\pi = 270.5\pi \text{ cm}^3
\]

Convertendo em valor numérico:

\[
V_{\text{total}} \approx 849.14 \text{ cm}^3
\]

Então, o volume total do sólido gerado é aproximadamente **849.14 cm³**.

---

**Perguntas Relacionadas:**

1. Como o cálculo muda se a figura fosse rotacionada em torno do eixo \(x\) ao invés do eixo \(y\)?
2. Como o volume seria calculado se a forma fosse uma semicircunferência ao invés de um quarto de círculo?
3. Qual seria o volume se a figura fosse espelhada ao longo do eixo \(y\)?
4. Como a fórmula mudaria se a altura do retângulo fosse diferente?
5. Qual seria o impacto no volume se a base do retângulo fosse uma parábola ao invés de uma linha reta?

**Dica:** Ao lidar com volumes de revolução, é importante segmentar a figura em partes mais simples para facilitar os cálculos, e, em seguida, somar os volumes dessas partes.

Learn how to calculate the volume of a geometric solid generated by rotating a figure around the y-axis. This problem involves integrating different geometric shapes, including quarter circles and rectangles, to find the total volume. Suitable for advanced high school students studying volumes of revolution.

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