la figure montre trois demi -cercles dans un rectangle . celui du millieu est tangent aux deux autres qui sont  eux mems tangent  aux petits cotes du rectangle . le grand demi cerle esy tangent a un des grands cotes du rectangle  qui mesure 36 cm les plus courtes distance de ce grand cote du rectangle a chacun des deux petits demis cercles sont 5 cm et 7 cm quel est en cm le perimetre du rectangle ? justifier la reponse

Pour résoudre ce problème, nous allons d'abord analyser les éléments géométriques donnés dans la figure.

### Étape 1 : Définition des éléments du rectangle et des demi-cercles
- Le rectangle a un grand côté de \( 36 \) cm.
- Il contient trois demi-cercles.
  - Le demi-cercle du milieu est tangent aux deux autres demi-cercles.
  - Les deux petits demi-cercles sont tangent aux petits côtés du rectangle.
  - Le grand demi-cercle est tangent à l'un des grands côtés du rectangle.
- Les distances des petits demi-cercles au grand côté du rectangle sont respectivement \( 5 \) cm et \( 7 \) cm.

### Étape 2 : Variables pour les rayons des demi-cercles
Notons :
- \( R \) le rayon du grand demi-cercle situé au centre.
- \( r_1 \) le rayon du premier petit demi-cercle (celui qui est à une distance de 5 cm du grand côté).
- \( r_2 \) le rayon du deuxième petit demi-cercle (celui qui est à une distance de 7 cm du grand côté).

### Étape 3 : Relations géométriques
Le grand demi-cercle est tangent au grand côté du rectangle, donc la hauteur totale du rectangle correspond à deux fois le rayon \( R \).

Les petits demi-cercles sont tangent au grand demi-cercle et à leurs côtés respectifs du rectangle. Les distances données, \( 5 \) cm et \( 7 \) cm, correspondent aux distances entre les petits demi-cercles et le grand côté du rectangle.

Ainsi, les hauteurs à partir du grand côté du rectangle sont :
\[
2R = 5 + 2r_1 \quad \text{et} \quad 2R = 7 + 2r_2
\]

### Étape 4 : Résolution pour les rayons des demi-cercles
De la première équation, nous obtenons :
\[
2R = 5 + 2r_1 \quad \Rightarrow \quad R = 2.5 + r_1
\]
De la deuxième équation, nous obtenons :
\[
2R = 7 + 2r_2 \quad \Rightarrow \quad R = 3.5 + r_2
\]
En égalant ces deux expressions pour \( R \), nous avons :
\[
2.5 + r_1 = 3.5 + r_2 \quad \Rightarrow \quad r_1 - r_2 = 1
\]

### Étape 5 : Longueur du rectangle
Le grand côté du rectangle est donné comme \( 36 \) cm, et il est égal à la somme des diamètres des trois demi-cercles :
\[
2r_1 + 2R + 2r_2 = 36
\]
Sachant que \( R = 2.5 + r_1 \), nous remplaçons \( R \) dans l'équation :
\[
2r_1 + 2(2.5 + r_1) + 2r_2 = 36
\]
Développons cette équation :
\[
2r_1 + 5 + 2r_1 + 2r_2 = 36
\]
\[
4r_1 + 2r_2 = 31
\]
En utilisant \( r_1 = r_2 + 1 \), nous remplaçons \( r_1 \) dans l'équation :
\[
4(r_2 + 1) + 2r_2 = 31
\]
\[
4r_2 + 4 + 2r_2 = 31
\]
\[
6r_2 + 4 = 31 \quad \Rightarrow \quad 6r_2 = 27 \quad \Rightarrow \quad r_2 = 4.5
\]
Ainsi, \( r_1 = r_2 + 1 = 4.5 + 1 = 5.5 \).

### Étape 6 : Hauteur du rectangle
La hauteur du rectangle est \( 2R \). Or, nous avons :
\[
R = 2.5 + r_1 = 2.5 + 5.5 = 8
\]
Donc la hauteur du rectangle est :
\[
2R = 2 \times 8 = 16 \, \text{cm}.
\]

### Étape 7 : Périmètre du rectangle
Le périmètre du rectangle est donné par la formule :
\[
P = 2 \times (L + l)
\]
où \( L = 36 \) cm et \( l = 16 \) cm. Ainsi, le périmètre est :
\[
P = 2 \times (36 + 16) = 2 \times 52 = 104 \, \text{cm}.
\]

### Conclusion :
Le périmètre du rectangle est \( 104 \) cm.

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions sur cette solution ?

Voici quelques questions connexes :
1. Comment établir des relations géométriques pour des cercles tangents ?
2. Quelle est l'importance des distances données dans ce problème ?
3. Comment utiliser les distances dans un contexte géométrique ?
4. Comment calculer les périmètres et les aires de formes contenant des cercles ?
5. Que se passe-t-il si l'un des rayons est modifié dans ce type de configuration ?

**Astuce** : Dans les problèmes géométriques, dessiner un schéma clair avec toutes les relations notées peut aider à mieux visualiser les solutions.

La figure montre trois demi-cercles dans un rectangle. Celui du milieu est tangent aux deux autres qui sont eux-mêmes tangents aux petits côtés du rectangle. Le grand demi-cercle est tangent à un des grands côtés du rectangle qui mesure 36 cm. Les plus courtes distances de ce grand côté du rectangle à chacun des deux petits demi-cercles sont 5 cm et 7 cm. Quel est en cm le périmètre du rectangle ? Justifier la réponse.

Découvrez comment résoudre un problème de géométrie impliquant trois demi-cercles dans un rectangle. Le périmètre du rectangle est calculé en utilisant les distances de tangence des demi-cercles et les propriétés géométriques des cercles et des rectangles. Convient aux élèves de Grades 9-12.

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