Usted como ingeniero debe diseñar un protector de cartón para una barra de mantequilla con
las siguientes especificaciones:
Espesor de la barra: 1,5cm
Ancho de la barra: entre 4 y 6cm inclusive
Largo de la barra: El triple del ancho disminuido en 4cm
a. Represente una función en una variable que modele el área del cartón para este
protector (elija una variable que se encuentre dentro de las condiciones dadas).
b. Represente gráficamente la función del ítem anterior mediante la plataforma digital
(GEOGEBRA, DESMOS, etc.), indicando dominio y rango.
c. Calcule la mínima cantidad de material que se puede usar en este protector.

Para diseñar un protector de cartón para una barra de mantequilla, primero debemos modelar matemáticamente el problema según las especificaciones dadas:

### a. Función que modela el área del cartón protector

Dado:
- Espesor de la barra de mantequilla: \( e = 1.5 \) cm
- Ancho de la barra de mantequilla: \( a \in [4, 6] \) cm
- Largo de la barra de mantequilla: \( l = 3a - 4 \) cm

#### Paso 1: Calcular el área del cartón necesario

El cartón protector envolverá la barra de mantequilla, por lo que su área estará determinada por las áreas de las distintas caras de la barra. La barra de mantequilla es un prisma rectangular con las siguientes dimensiones:

- Largo: \( l = 3a - 4 \)
- Ancho: \( a \)
- Espesor: \( e = 1.5 \)

Para calcular el área total de cartón necesario, consideramos las áreas de las caras de la barra de mantequilla:

1. **Caras laterales (2 áreas de \( l \times e \))**:
   \[
   2 \cdot (l \cdot e) = 2 \cdot ((3a - 4) \cdot 1.5) = 2 \cdot (4.5a - 6) = 9a - 12
   \]

2. **Caras frontales (2 áreas de \( a \times e \))**:
   \[
   2 \cdot (a \cdot e) = 2 \cdot (a \cdot 1.5) = 3a
   \]

3. **Caras superiores e inferiores (2 áreas de \( l \times a \))**:
   \[
   2 \cdot (l \cdot a) = 2 \cdot ((3a - 4) \cdot a) = 2 \cdot (3a^2 - 4a) = 6a^2 - 8a
   \]

#### Área total del cartón

La función para el área total de cartón necesaria, en función del ancho \( a \), es:

\[
A(a) = (9a - 12) + (3a) + (6a^2 - 8a)
\]

Simplificando:

\[
A(a) = 6a^2 + 4a - 12
\]

Esta es la función que modela el área del cartón en función del ancho \( a \).

### b. Gráfica de la función \( A(a) \)

Para graficar la función \( A(a) \), usaremos la plataforma digital (por ejemplo, Desmos o GeoGebra). La función es:

\[
A(a) = 6a^2 + 4a - 12
\]

#### Dominio y Rango

- **Dominio**: \( a \in [4, 6] \), dado que el ancho de la barra está especificado en ese rango.
- **Rango**: Depende de los valores de \( A(a) \) dentro del dominio. 

La gráfica de la función \( A(a) \) mostrará una parábola, ya que es una función cuadrática.

### c. Mínima cantidad de material

Para encontrar la mínima cantidad de material, debemos hallar el valor de \( a \) que minimiza la función \( A(a) \).

1. Derivamos la función \( A(a) \) respecto a \( a \):

\[
A'(a) = \frac{d}{da} (6a^2 + 4a - 12) = 12a + 4
\]

2. Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

\[
12a + 4 = 0 \implies a = -\frac{1}{3}
\]

El valor \( a = -\frac{1}{3} \) no está en el dominio de la función (porque \( a \in [4, 6] \)), por lo que evaluamos los extremos del dominio para encontrar el valor mínimo de \( A(a) \).

3. Evaluamos la función en los extremos del dominio:

\[
A(4) = 6(4)^2 + 4(4) - 12 = 96
\]
\[
A(6) = 6(6)^2 + 4(6) - 12 = 192
\]

### Conclusión

La mínima cantidad de material que se puede usar es cuando \( a = 4 \) cm, dando un área de:

\[
\boxed{96 \, \text{cm}^2}
\]

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el espesor a la cantidad total de cartón necesario?
2. ¿Qué pasaría si el ancho de la barra estuviera fuera del rango dado?
3. ¿Cómo cambiaría la función si el largo fuera una función diferente del ancho?
4. ¿Qué materiales serían más eficientes para reducir el área total de cartón necesario?
5. ¿Cómo se podría optimizar el diseño del protector de cartón para minimizar costos?

#### Tip:
Al resolver problemas de optimización, siempre revisa si los puntos críticos obtenidos se encuentran dentro del dominio permitido antes de concluir.

Usted como ingeniero debe diseñar un protector de cartón para una barra de mantequilla con las siguientes especificaciones: Espesor de la barra: 1,5cm Ancho de la barra: entre 4 y 6cm inclusive Largo de la barra: El triple del ancho disminuido en 4cm a. Represente una función en una variable que modele el área del cartón para este protector (elija una variable que se encuentre dentro de las condiciones dadas). b. Represente gráficamente la función del ítem anterior mediante la plataforma digital (GEOGEBRA, DESMOS, etc.), indicando dominio y rango. c. Calcule la mínima cantidad de material que se puede usar en este protector.

Discover how to design a cardboard protector for a butter bar by modeling the area as a quadratic function. This problem explores optimization techniques to minimize material usage. Ideal for students in Grades 10-12 studying algebra and quadratic functions.

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