El valor de k
 que hace que la recta  l1
 con ecuación y+5=(k+2)(x+3)
 sea perpendicular a la recta  l2
 con ecuación y=(2k+1)x+3
 es:
    k1
=Respuesta 1 Pregunta 2
, k2
=Respuesta 2 Pregunta 2



La ecuación de la recta en la forma y=mx+b
 que es paralela a la recta  l2
 y que pasa por el punto (12,53)
 y con  k1
 es:
     l3
:  y=
 Respuesta 3 Pregunta 2
x
+
Respuesta 4 Pregunta 2


Para resolver este problema, debemos determinar primero el valor de \( k \) que hace que las rectas \( l_1 \) y \( l_2 \) sean perpendiculares, y luego encontrar la ecuación de una recta paralela a \( l_2 \) que pase por el punto \((12, 53)\).

### Paso 1: Condición de perpendicularidad entre las rectas \( l_1 \) y \( l_2 \)

La pendiente de la recta \( l_1 \) se obtiene al escribir la ecuación en la forma pendiente-intersección \( y = mx + b \). La ecuación de \( l_1 \) es:
\[
y + 5 = (k + 2)(x + 3)
\]
Distribuimos el lado derecho:
\[
y + 5 = (k + 2)x + 3(k + 2)
\]
\[
y + 5 = (k + 2)x + 3k + 6
\]
Restamos 5 de ambos lados para obtener:
\[
y = (k + 2)x + 3k + 1
\]
La pendiente de \( l_1 \) es \( m_1 = k + 2 \).

La pendiente de la recta \( l_2 \) es directamente el coeficiente de \( x \) en su ecuación, que es:
\[
y = (2k + 1)x + 3
\]
Por lo tanto, la pendiente de \( l_2 \) es \( m_2 = 2k + 1 \).

Para que las rectas \( l_1 \) y \( l_2 \) sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a \(-1\):
\[
m_1 \cdot m_2 = -1
\]
Sustituyendo los valores de las pendientes:
\[
(k + 2)(2k + 1) = -1
\]
Expandimos:
\[
2k^2 + k + 4k + 2 = -1
\]
Simplificamos:
\[
2k^2 + 5k + 2 = -1
\]
Sumamos 1 a ambos lados:
\[
2k^2 + 5k + 3 = 0
\]
Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver usando la fórmula general:
\[
k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 2 \), \( b = 5 \), y \( c = 3 \).

Aplicamos la fórmula:
\[
k = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(3)}}{2(2)}
\]
\[
k = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}
\]
\[
k = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{4}
\]
\[
k = \frac{-5 \pm 1}{4}
\]
Por lo tanto, tenemos dos soluciones:
\[
k_1 = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1
\]
\[
k_2 = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}
\]

### Paso 2: Ecuación de la recta paralela a \( l_2 \) y que pasa por \((12, 53)\) con \( k_1 \)

La pendiente de la recta \( l_2 \) cuando \( k = k_1 = -1 \) es:
\[
m = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
\]
Sabemos que la pendiente de la recta paralela es la misma, por lo que la pendiente de la nueva recta también es \( m = -1 \).

Usamos la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Sustituyendo \( m = -1 \) y el punto \( (12, 53) \):
\[
y - 53 = -1(x - 12)
\]
Simplificamos:
\[
y - 53 = -x + 12
\]
Sumamos 53 a ambos lados:
\[
y = -x + 65
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta es:
\[
l_3: y = -x + 65
\]

### Respuestas finales:

- \( k_1 = -1 \)
- \( k_2 = -\frac{3}{2} \)
- La ecuación de la recta \( l_3 \) es \( y = -x + 65 \).

---

¿Te gustaría que te explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática por factorización?
2. ¿Cómo se calcula la pendiente de una recta dada su ecuación?
3. ¿Qué significa que dos rectas sean perpendiculares?
4. ¿Qué propiedades tienen las rectas paralelas?
5. ¿Cómo se deriva la fórmula punto-pendiente de una recta?

**Tip:** Al resolver ecuaciones cuadráticas, revisa primero si es posible factorizar antes de usar la fórmula general, ya que puede ser más rápido.

El valor de k que hace que la recta l1 con ecuación y+5=(k+2)(x+3) sea perpendicular a la recta l2 con ecuación y=(2k+1)x+3 es: k1 = Respuesta 1 Pregunta 2 , k2 = Respuesta 2 Pregunta 2. La ecuación de la recta en la forma y=mx+b que es paralela a la recta l2 y que pasa por el punto (12,53) y con k1 es: l3 : y= Respuesta 3 Pregunta 2 x + Respuesta 4 Pregunta 2

Discover how to find the value of k that makes two lines perpendicular, and determine the equation of a line parallel to another passing through a given point. Learn the key concepts of algebra, slopes, and line equations. Suitable for students in Grades 9-11.

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