Sejam S_1, S_2, S_3 respectivamente as somas dos n, 2n, 3n primeiros termos da mesma PA. Sendo a o primeiro termo e r a razão, podemos afirmar que S_3-S_2-S_1 depende:
		a) Somente de a e de r.
		b) Somente de r e de n.
		c) Somente de a e de n.
		d) Nem de a, nem de r e nem de n.
		e De a, de r e de n.

A questão nos dá três somas parciais de uma progressão aritmética (PA), onde:

- \( S_1 \) é a soma dos \( n \) primeiros termos;
- \( S_2 \) é a soma dos \( 2n \) primeiros termos;
- \( S_3 \) é a soma dos \( 3n \) primeiros termos.

Sabemos que a soma dos primeiros \( k \) termos de uma PA é dada por:

\[
S_k = \frac{k}{2} \cdot (2a + (k - 1)r)
\]

### Passo 1: Expressões para \( S_1 \), \( S_2 \) e \( S_3 \)

1. **Soma dos \( n \) primeiros termos (\( S_1 \)):**

\[
S_1 = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1)r)
\]

2. **Soma dos \( 2n \) primeiros termos (\( S_2 \)):**

\[
S_2 = \frac{2n}{2} \cdot (2a + (2n - 1)r) = n \cdot (2a + (2n - 1)r)
\]

3. **Soma dos \( 3n \) primeiros termos (\( S_3 \)):**

\[
S_3 = \frac{3n}{2} \cdot (2a + (3n - 1)r)
\]

### Passo 2: Calcular \( S_3 - S_2 - S_1 \)

Agora, queremos calcular \( S_3 - S_2 - S_1 \). Vamos começar expressando:

\[
S_3 - S_2 - S_1 = \left( \frac{3n}{2} \cdot (2a + (3n - 1)r) \right) - \left( n \cdot (2a + (2n - 1)r) \right) - \left( \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1)r) \right)
\]

A estratégia aqui é simplificar essa expressão e verificar se ela depende de \( a \), \( r \) e/ou \( n \).

### Passo 3: Simplificação

A simplificação completa nos dá que:

\[
S_3 - S_2 - S_1 = \frac{n}{2} \cdot r
\]

Essa expressão final depende apenas de \( n \) e \( r \), e não de \( a \).

### Conclusão

Portanto, a resposta correta é:

**b) Somente de r e de n.**

---

Tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como determinar a soma dos primeiros termos de uma PA?
2. Qual é a fórmula geral para a soma de \( k \) termos de uma PA?
3. Em que casos a soma de termos de uma PA depende somente de \( r \) e \( n \)?
4. Como a razão \( r \) influencia o comportamento de uma PA?
5. O que acontece com a soma dos termos de uma PA se \( r = 0 \)?

**Dica:** Para somas de progressões, lembre-se que a diferença entre somas parciais pode revelar dependências importantes de suas variáveis principais, como \( r \) e \( n \).

Sejam S_1, S_2, S_3 respectivamente as somas dos n, 2n, 3n primeiros termos da mesma PA. Sendo a o primeiro termo e r a razão, podemos afirmar que S_3-S_2-S_1 depende:
	a) Somente de a e de r.
	b) Somente de r e de n.
	c) Somente de a e de n.
	d) Nem de a, nem de r e nem de n.
	e) De a, de r e de n.

Understand how to calculate and analyze the difference between sums of terms in an arithmetic progression (PA). This problem explores the dependence of S_3 - S_2 - S_1 on variables a, r, and n. Suitable for students in Grades 10-12.

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