Um pequeno agricultor disp ̃oe de 200 m de tela, com a qual
pretende cercar uma horta retangular, de dimens ̃oes x e y. esboce o grafico de A (x)

O problema nos diz que o agricultor possui 200 metros de tela para cercar uma horta retangular de dimensões \( x \) e \( y \). O perímetro de um retângulo é dado por:

\[
P = 2x + 2y
\]

Como ele tem 200 metros de tela:

\[
2x + 2y = 200
\]

Simplificando essa equação:

\[
x + y = 100
\]

Agora, queremos expressar a área \( A(x) \) em função de \( x \). Sabemos que a área de um retângulo é dada por:

\[
A = x \times y
\]

Substituindo \( y \) da equação \( x + y = 100 \), temos:

\[
y = 100 - x
\]

Assim, a função da área \( A(x) \) em termos de \( x \) será:

\[
A(x) = x(100 - x) = 100x - x^2
\]

Agora podemos esboçar o gráfico de \( A(x) \):

1. O gráfico de \( A(x) = 100x - x^2 \) é uma parábola voltada para baixo (porque o coeficiente de \( x^2 \) é negativo).
2. O valor máximo da área ocorre no vértice da parábola, o qual pode ser encontrado usando a fórmula do vértice para uma função quadrática \( ax^2 + bx + c \), que é dado por \( x_v = -\frac{b}{2a} \).

Aqui, \( a = -1 \) e \( b = 100 \), então:

\[
x_v = -\frac{100}{2(-1)} = 50
\]

Logo, o valor de \( x \) que maximiza a área é 50. Isso significa que o retângulo seria um quadrado com lados de 50 metros.

### Esboço do gráfico

O gráfico de \( A(x) = 100x - x^2 \) é uma parábola que atinge seu máximo em \( x = 50 \) e cruza o eixo \( x \) em \( x = 0 \) e \( x = 100 \). A área começa em 0 (quando \( x = 0 \) ou \( x = 100 \)), aumenta até o máximo de \( 2500 \) (quando \( x = 50 \)) e depois diminui de volta a 0.

### Deseja que eu crie o gráfico para você?

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como o valor máximo da área se relaciona com as dimensões da cerca?
2. Como seria o cálculo da área se o formato fosse circular?
3. Se a tela disponível fosse de 300 metros, como isso mudaria a função \( A(x) \)?
4. Como derivar a fórmula do vértice para funções quadráticas?
5. Qual seria o impacto de um perímetro não retangular na maximização da área?

**Dica**: Quando se lida com funções quadráticas como \( A(x) = -x^2 + bx \), o vértice sempre indica o ponto de máximo ou mínimo da função.

Um pequeno agricultor dispõe de 200 m de tela, com a qual pretende cercar uma horta retangular, de dimensões x e y. Esboce o gráfico de A(x).

This problem explores how to maximize the area of a rectangular garden using 200 meters of fencing. Learn how to derive and graph the quadratic function A(x) = 100x - x^2, find the maximum area, and calculate the dimensions that optimize the area. Suitable for students in Grades 9-12.

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