Dispõe-se de 300 metros de arame para cercar o perímetro de um lote de terreno retangular. Deseja-se maximizar a área cercada usando todo o arame disponível. Determine as dimensões do retângulo que maximizam a área cercada:

	a.	
Comprimento equals 75 m e largura equals 75 m.

	b.	
Comprimento equals 200 m e largura equals 100 m.

	c.	
Comprimento equals 150 m e largura equals 150 m.

	d.	
Comprimento equals 95 m e largura equals 25 m.

	e.	
Comprimento equals 140 m e largura equals 80 m.



Para resolver esse problema, precisamos determinar as dimensões do retângulo que maximizam a área cercada, dado um perímetro fixo de 300 metros.

### Passo 1: Definição das variáveis

Vamos definir:
- \(L\) como o comprimento do retângulo.
- \(W\) como a largura do retângulo.

O perímetro \(P\) de um retângulo é dado por:
\[
P = 2L + 2W
\]

Como o perímetro é 300 metros, temos:
\[
2L + 2W = 300
\]
\[
L + W = 150
\]

### Passo 2: Expressão para a Área

A área \(A\) de um retângulo é dada por:
\[
A = L \times W
\]

Usando a equação \(L + W = 150\), podemos expressar \(W\) em termos de \(L\):
\[
W = 150 - L
\]

Substituindo na expressão para a área:
\[
A = L \times (150 - L)
\]
\[
A = 150L - L^2
\]

### Passo 3: Maximização da Área

A expressão para a área \(A = 150L - L^2\) é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de \(L^2\) é negativo), e, portanto, a área máxima ocorre no vértice da parábola.

A fórmula para o vértice de uma parábola \(ax^2 + bx + c\) é dada por \(x = -\frac{b}{2a}\). Aqui, \(a = -1\) e \(b = 150\), então:

\[
L = -\frac{150}{2(-1)} = \frac{150}{2} = 75
\]

Substituindo \(L = 75\) na expressão \(W = 150 - L\):

\[
W = 150 - 75 = 75
\]

### Passo 4: Conclusão

As dimensões que maximizam a área cercada, usando todo o arame disponível, são:

- Comprimento \(= 75\) metros
- Largura \(= 75\) metros

Portanto, a alternativa correta é:

**a. Comprimento = 75 m e largura = 75 m.**

Se tiver alguma dúvida ou quiser mais detalhes, por favor, pergunte!

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**Dica:** Em problemas de otimização com perímetros fixos, a forma quadrada frequentemente resulta na maior área possível para figuras retangulares.

Learn how to maximize the area of a rectangular lot using 300 meters of wire perimeter. This problem involves optimizing the dimensions of a rectangle with a fixed perimeter, utilizing concepts in geometry and optimization. Suitable for students in Grades 10-12.

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