3.- Un granjero dispone de 200 metros de cerca para delimitar un corral rectangular. ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada sea máxima?, sabiendo que un lado no utilizará cerca debido a que cuenta con una pared. Utiliza los criterios de la segunda derivada para resolver el problema.

Para resolver el problema de optimización, donde se desea maximizar el área de un corral rectangular con un perímetro parcial de 200 metros y una pared que cubre un lado, procederemos de la siguiente manera:

### 1. Planteamiento del problema
Supongamos que el corral rectangular tiene:
- **x** metros de ancho (lado perpendicular a la pared).
- **y** metros de largo (lado paralelo a la pared).

Dado que un lado no requiere cerca, la cantidad total de cerca disponible se usará para los dos anchos (2x) y un largo (y). Entonces:

\[
2x + y = 200
\]

### 2. Función objetivo
Queremos maximizar el área \( A \) del corral. El área se puede expresar como:

\[
A = x \cdot y
\]

Usando la restricción del perímetro, podemos despejar \( y \):

\[
y = 200 - 2x
\]

Sustituyendo en la función área:

\[
A(x) = x \cdot (200 - 2x)
\]

\[
A(x) = 200x - 2x^2
\]

### 3. Derivada primera
Para encontrar los valores de \( x \) que maximizan el área, calculamos la primera derivada de \( A(x) \) respecto a \( x \):

\[
A'(x) = \frac{dA}{dx} = 200 - 4x
\]

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

\[
200 - 4x = 0
\]

\[
4x = 200
\]

\[
x = 50
\]

### 4. Derivada segunda
Ahora, aplicamos el criterio de la segunda derivada para verificar si este punto crítico corresponde a un máximo:

\[
A''(x) = \frac{d^2A}{dx^2} = -4
\]

Dado que \( A''(x) = -4 \) es negativa, \( x = 50 \) es un punto de máximo.

### 5. Dimensiones óptimas
Sustituyendo \( x = 50 \) en la ecuación del perímetro para encontrar \( y \):

\[
y = 200 - 2(50) = 200 - 100 = 100
\]

Por lo tanto, para maximizar el área del corral, las dimensiones deben ser:
- **Ancho** \( x = 50 \) metros
- **Largo** \( y = 100 \) metros

El área máxima encerrada será:

\[
A_{\text{máx}} = 50 \times 100 = 5000 \, \text{m}^2
\]

### ¿Tienes alguna pregunta o deseas más detalles?

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afectaría el problema si el corral no tuviera una pared y necesitara cerca en todos los lados?
2. ¿Cómo se resolvería el problema si se quisiera minimizar el área en lugar de maximizarla?
3. ¿Qué pasaría si el granjero tuviera solo 150 metros de cerca disponible?
4. ¿Cómo se aplicaría este método a un corral circular en lugar de uno rectangular?
5. ¿Qué otros métodos podrían usarse para verificar la solución además del criterio de la segunda derivada?

### Tip:
Recuerda que la segunda derivada negativa en un punto crítico indica un máximo local, lo cual es crucial en problemas de optimización.

Learn how to maximize the area of a rectangular pen using 200 meters of fencing, with one side bordered by a wall. This problem involves optimization techniques, quadratic equations, and the second derivative test. Suitable for advanced high school students (Grades 11-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation