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Carol tiene 2400 metros de cerca para cercar un corral rectangular para caballos. (A) Encuentra una función que modele el área del corral en términos de ancho x del corral. (B) Encuentre las dimensiones del rectángulo que lleve al máximo el área del corral.

Tenemos una imagen que muestra un corral rectangular con un ancho \( x \) y un largo \( 1200 - x \). Sabemos que Carol tiene 2400 metros de cerca para cercar el corral.

**Parte (A): Encontrar una función para el área del corral en términos del ancho \( x \).**

Dado que la cerca total es de 2400 metros, el perímetro del rectángulo es:

\[
2x + 2(1200 - x) = 2400
\]

Simplificando esta ecuación:

\[
2x + 2400 - 2x = 2400
\]

Esto se cumple para cualquier \( x \), lo que nos indica que siempre habrá suficiente cerca para cubrir el perímetro del corral. Ahora, la fórmula para el área del rectángulo en términos del ancho \( x \) es:

\[
A(x) = x(1200 - x)
\]

**Parte (B): Encontrar las dimensiones que maximizan el área del corral.**

Para maximizar el área, tenemos que maximizar la función \( A(x) = x(1200 - x) \). Esto se puede hacer derivando la función e igualando a cero.

1. Derivada de \( A(x) \):

\[
A'(x) = 1200 - 2x
\]

2. Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de \( x \) que maximiza el área:

\[
1200 - 2x = 0 \implies x = 600
\]

Así que el ancho que maximiza el área es \( x = 600 \).

3. Con este valor de \( x \), el largo es:

\[
1200 - x = 1200 - 600 = 600
\]

Por lo tanto, las dimensiones que maximizan el área son \( 600 \times 600 \), lo que corresponde a un corral cuadrado.

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¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo calcularíamos el área máxima del corral con las dimensiones óptimas?
2. ¿Qué sucede con el área si el ancho es mayor o menor que 600 metros?
3. ¿Cómo se usa el concepto de derivada para encontrar máximos en otras aplicaciones?
4. ¿Qué significaría en este contexto que la derivada segunda sea negativa?
5. ¿Qué restricciones adicionales podrían aplicarse si hubiera otras limitaciones en la construcción?

### Tip:
Recuerda que, en problemas de optimización, los puntos críticos encontrados con la derivada pueden ser máximos o mínimos. Siempre es útil verificar la segunda derivada o analizar el comportamiento de la función para estar seguro.

Carol tiene 2400 metros de cerca para cercar un corral rectangular para caballos. (A) Encuentra una función que modele el área del corral en términos de ancho x del corral. (B) Encuentra las dimensiones del rectángulo que lleve al máximo el área del corral.

Learn how to find the maximum area for a rectangular horse corral using 2400 meters of fencing. This problem involves quadratic functions, optimization, and the first derivative test. Suitable for high school students studying geometry and calculus.

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