Um pequeno agricultor disp˜oe de 200 m de tela, com a qual
pretende cercar uma horta retangular, de dimens˜oes x e y.
• Usando o comprimento da tela, exprima y como uma fun¸c˜ao de x.
• Determine a fun¸c˜ao A(x) que fornece a ´area cercada em rela¸c˜ao a x.
• Determine o valor de x que maximiza a ´area cercada e encontre a ´area
m´axima da horta.
• Esboce o gr´afico de A(x).

Vamos resolver passo a passo o problema do agricultor que quer cercar uma horta retangular com 200 metros de tela.

### 1. Expressão de \( y \) como função de \( x \)

Sabemos que o agricultor quer cercar uma horta retangular de dimensões \( x \) e \( y \), onde \( x \) e \( y \) são, respectivamente, o comprimento e a largura da horta. A quantidade de tela disponível é 200 metros, o que significa que o perímetro do retângulo deve ser 200 metros.

A fórmula do perímetro \( P \) de um retângulo é dada por:

\[
P = 2x + 2y
\]

Como o perímetro é 200 metros, temos:

\[
2x + 2y = 200
\]

Dividindo ambos os lados por 2:

\[
x + y = 100
\]

Agora, isolando \( y \) em função de \( x \), obtemos:

\[
y = 100 - x
\]

Portanto, a largura \( y \) é uma função do comprimento \( x \):

\[
y(x) = 100 - x
\]

---

### 2. Função da área \( A(x) \)

A área \( A \) de um retângulo é dada por:

\[
A = x \cdot y
\]

Substituindo \( y(x) = 100 - x \) na equação da área:

\[
A(x) = x \cdot (100 - x)
\]

Simplificando:

\[
A(x) = 100x - x^2
\]

Essa é a função que dá a área cercada em função de \( x \).

---

### 3. Determinação do valor de \( x \) que maximiza a área

Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a área, vamos derivar a função \( A(x) \) e encontrar o ponto crítico, onde a derivada é igual a zero.

A derivada de \( A(x) \) em relação a \( x \) é:

\[
A'(x) = 100 - 2x
\]

Agora, igualando a derivada a zero:

\[
100 - 2x = 0
\]

Resolvendo para \( x \):

\[
x = 50
\]

Portanto, o valor de \( x \) que maximiza a área é \( x = 50 \).

Agora, para encontrar a área máxima, substituímos \( x = 50 \) na função \( A(x) \):

\[
A(50) = 100 \cdot 50 - 50^2
\]

\[
A(50) = 5000 - 2500
\]

\[
A(50) = 2500 \, \text{m}^2
\]

Portanto, a área máxima cercada é \( 2500 \, \text{m}^2 \).

---

### 4. Esboço do gráfico de \( A(x) \)

A função \( A(x) = 100x - x^2 \) é uma parábola voltada para baixo (pois o coeficiente de \( x^2 \) é negativo). O valor máximo ocorre no vértice da parábola, em \( x = 50 \), com uma altura de 2500 m².

**Resumo:**
- A função \( y(x) = 100 - x \).
- A função da área é \( A(x) = 100x - x^2 \).
- A área máxima é \( 2500 \, \text{m}^2 \) e ocorre quando \( x = 50 \).
  
Posso gerar um esboço gráfico da função \( A(x) \), se desejar.

---

### Perguntas Relacionadas:
1. Como derivar funções quadráticas como \( A(x) \) para encontrar máximos e mínimos?
2. O que significa uma função ser côncava para baixo e como isso se relaciona com a maximização?
3. Qual seria o impacto na área máxima se o agricultor tivesse menos ou mais tela disponível?
4. Como encontrar o vértice de uma parábola usando a fórmula da função quadrática?
5. Quais são os limites para \( x \) nesse tipo de problema?

### Dica:
A fórmula do vértice para funções quadráticas é uma ferramenta útil para determinar o máximo ou mínimo de uma função, e é dada por \( x_v = -\frac{b}{2a} \), onde \( ax^2 + bx + c \) é a forma geral da função.

Um pequeno agricultor dispõe de 200 m de tela, com a qual pretende cercar uma horta retangular, de dimensões x e y. Usando o comprimento da tela, exprima y como uma função de x. Determine a função A(x) que fornece a área cercada em relação a x. Determine o valor de x que maximiza a área cercada e encontre a área máxima da horta. Esboce o gráfico de A(x).

Learn how to determine the dimensions of a rectangular garden that maximizes the enclosed area using 200 meters of fence. This solution covers algebraic concepts, including quadratic functions and optimization, suitable for Grades 9-12.

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