4. La compañía de teléfono planea introducir dos nuevos tipos de sistemas de comunicaciones para ejecutivos que espera vender a sus mayores clientes comerciales. Se calcula que, si el primer tipo de sistema se valora en x cientos de dólares por sistema y el segundo tipo en y cientos de dólares por sistema, aproximadamente 40 - 8x + 5y consumidores comprarán el primer tipo y 50 + 9x -
7y comprarán el segundo tipo. Si el costo de fabricación del primer tipo es US$1000 por sistema y el costo del segundo tipo es US$3000 por sistema, ¿qué precio debería fijar la compañía de teléfonos a los sistemas para generar la mayor utilidad posible?

Este problema se puede resolver utilizando técnicas de optimización, ya que necesitamos encontrar el precio de venta $x$ y $y$ que maximice la utilidad o ganancia de la empresa. Para ello, sigamos estos pasos:

### Definiciones

- **Precio del primer tipo de sistema**: $x$ cientos de dólares (\$100 * x\).
- **Precio del segundo tipo de sistema**: $y$ cientos de dólares (\$100 * y).
- **Número de consumidores que comprarán el primer tipo**: $40 - 8x + 5y$.
- **Número de consumidores que comprarán el segundo tipo**: $50 + 9x - 7y$.
- **Costo de fabricación del primer tipo**: \$1000 (\$10 en términos de cientos).
- **Costo de fabricación del segundo tipo**: \$3000 (\$30 en términos de cientos).

### Función de utilidad

La utilidad se calcula como los ingresos menos los costos. Los ingresos son el número de consumidores multiplicado por el precio, y los costos son el número de consumidores multiplicado por el costo de fabricación.

- **Ingresos del primer tipo de sistema**: 
  \[
  (x) \times (40 - 8x + 5y) = x(40 - 8x + 5y)
  \]
  
- **Ingresos del segundo tipo de sistema**: 
  \[
  (y) \times (50 + 9x - 7y) = y(50 + 9x - 7y)
  \]

- **Costos del primer tipo de sistema**: 
  \[
  10 \times (40 - 8x + 5y)
  \]

- **Costos del segundo tipo de sistema**: 
  \[
  30 \times (50 + 9x - 7y)
  \]

### Función de utilidad total

La utilidad total es:

\[
U(x, y) = \left[ x(40 - 8x + 5y) + y(50 + 9x - 7y) \right] - \left[ 10(40 - 8x + 5y) + 30(50 + 9x - 7y) \right]
\]

### Derivadas parciales

Para encontrar los valores de $x$ y $y$ que maximizan la utilidad, necesitamos derivar la función $U(x, y)$ con respecto a $x$ y $y$, y luego resolver el sistema de ecuaciones que resulta de igualar las derivadas parciales a cero:

1. $ \frac{\partial U}{\partial x} = 0 $
2. $ \frac{\partial U}{\partial y} = 0 $

Voy a proceder con los cálculos para obtener las derivadas y resolver este sistema de ecuaciones.Los precios que maximizan la utilidad de la empresa son:

- **Precio del primer tipo de sistema (x)**: \$3000 (30 cientos de dólares).
- **Precio del segundo tipo de sistema (y)**: \$4500 (45 cientos de dólares).

¿Te gustaría más detalles sobre este cálculo o alguna aclaración adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo influye la elasticidad de la demanda en la elección de precios?
2. ¿Cómo se vería afectada la utilidad si los costos de fabricación aumentaran?
3. ¿Qué sucede con la utilidad si los precios se fijan por debajo de los costos de fabricación?
4. ¿Qué implicancias tendría la competencia en este análisis de maximización de utilidad?
5. ¿Cómo impactaría un cambio en la cantidad de consumidores en la utilidad?

**Tip**: Utilizar derivadas parciales para optimización es una técnica clave en problemas económicos y de ingeniería, permitiendo identificar máximos y mínimos de funciones multivariables.

La compañía de teléfono planea introducir dos nuevos tipos de sistemas de comunicaciones para ejecutivos que espera vender a sus mayores clientes comerciales. Se calcula que, si el primer tipo de sistema se valora en x cientos de dólares por sistema y el segundo tipo en y cientos de dólares por sistema, aproximadamente 40 - 8x + 5y consumidores comprarán el primer tipo y 50 + 9x - 7y comprarán el segundo tipo. Si el costo de fabricación del primer tipo es US$1000 por sistema y el costo del segundo tipo es US$3000 por sistema, ¿qué precio debería fijar la compañía de teléfonos a los sistemas para generar la mayor utilidad posible?

Aprende cómo optimizar los precios de venta de dos tipos de sistemas de comunicación empresarial para maximizar la utilidad. Este problema incluye conceptos clave de optimización, uso de derivadas parciales y funciones de utilidad, con una solución detallada paso a paso.

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