En una tienda de café se vende café de la marca X y de la marca Y. El propietario de la tienda puede obtener ambos cafés a un costo de US$3 por libra. Su hijo que es estadista ha estimado que, si el café X se vende en p dólares por libra y el café Y a q dólares por libra, entonces se venderá aproximadamente (60 - 70p + 50q) libras de la marca X y (30 + 80p - 90q) libras de la marca Y. ¿Qué precio deberá ponerse a cada marca de café para maximizar el beneficio?

Para resolver este problema de maximización de beneficios, tenemos que maximizar la función de beneficio en función de los precios $ p $ y $ q $ de las marcas de café X e Y, respectivamente. 

### Paso 1: Plantear la función de beneficio

El beneficio es igual a los ingresos menos los costos. Dado que el costo de cada libra de café es de US$3, el beneficio obtenido de vender el café X e Y está dado por:

- **Ingresos de café X**: $ p \times (60 - 70p + 50q) $
- **Ingresos de café Y**: $ q \times (30 + 80p - 90q) $
- **Costo de café X**: $ 3 \times (60 - 70p + 50q) $
- **Costo de café Y**: $ 3 \times (30 + 80p - 90q) $

Entonces, el beneficio total $ B(p, q) $ es:

\[
B(p, q) = \left[ p \times (60 - 70p + 50q) + q \times (30 + 80p - 90q) \right] - \left[ 3 \times (60 - 70p + 50q) + 3 \times (30 + 80p - 90q) \right]
\]

Simplificando, tenemos:

\[
B(p, q) = (p - 3)(60 - 70p + 50q) + (q - 3)(30 + 80p - 90q)
\]

### Paso 2: Expandir la función de beneficio

Expandiendo cada término:

\[
B(p, q) = (p - 3)(60 - 70p + 50q) + (q - 3)(30 + 80p - 90q)
\]

\[
B(p, q) = (p - 3)(60) + (p - 3)(-70p) + (p - 3)(50q) + (q - 3)(30) + (q - 3)(80p) + (q - 3)(-90q)
\]

\[
B(p, q) = 60p - 180 - 70p^2 + 210p + 50pq - 150q + 30q - 90 - 90q^2 + 270q + 80pq - 240p
\]

\[
B(p, q) = -70p^2 + (50q - 30p + 60)p - 90q^2 + (80p - 60q + 30)q - 270
\]

### Paso 3: Encontrar los puntos críticos

Para maximizar $ B(p, q) $, necesitamos calcular las derivadas parciales con respecto a $ p $ y $ q $, e igualarlas a cero.

\[
\frac{\partial B}{\partial p} = -140p + 50q - 30 + 80q - 240 = 0
\]

\[
\frac{\partial B}{\partial q} = -180q + 50p - 60 + 80p - 270 = 0
\]

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

### Solución del sistema de ecuaciones
\[
140 + 80q - 30p = 0
50p-60-120q=0

solucion 
q=5
b= 1.75

 








Aprende a maximizar el beneficio en una tienda de café con este problema resuelto. Calculamos los precios óptimos para las marcas de café X e Y utilizando derivadas parciales y sistemas de ecuaciones. Apto para estudiantes y profesionales interesados en optimización y economía aplicada.

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