Una empresa sabe que las funciones que representan el ingreso marginal y el costo marginal por la producción de x unidades son  I ´(x) = 10 − 4x + 6X^2 y  C´(x) = 4 − 8x + 3X^2 en dólares. Si al fabricar 30 unidades se genera un costo 25000 US y un ingreso de 60000 US. ¿Cuál es la utilidad que genera la venta de 50 unidades?

Para determinar la utilidad generada por la venta de 50 unidades, debemos seguir estos pasos:

1. **Encontrar las funciones de ingreso y costo:** Integrar las funciones de ingreso marginal \( I'(x) \) y costo marginal \( C'(x) \) para obtener las funciones de ingreso \( I(x) \) y costo \( C(x) \).

2. **Determinar las constantes de integración:** Utilizar las condiciones dadas de que al fabricar 30 unidades el ingreso es de 60000 US y el costo es de 25000 US.

3. **Calcular la utilidad para 50 unidades:** La utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo al producir y vender 50 unidades.

### 1. Encontrar las funciones de ingreso y costo

Primero, integramos las funciones marginales:

**Función de ingreso:**
\[
I'(x) = 10 - 4x + 6x^2
\]
\[
I(x) = \int (10 - 4x + 6x^2) \, dx
\]

**Función de costo:**
\[
C'(x) = 4 - 8x + 3x^2
\]
\[
C(x) = \int (4 - 8x + 3x^2) \, dx
\]

Realicemos las integraciones y determinemos las constantes.Las funciones de ingreso y costo, tras integrar, son:

\[
I(x) = 2x^3 - 2x^2 + 10x + C_1
\]

\[
C(x) = x^3 - 4x^2 + 4x + C_2
\]

### 2. Determinar las constantes de integración

Usamos las condiciones: al fabricar 30 unidades, el ingreso es 60000 US y el costo es 25000 US:

1. \( I(30) = 60000 \)
2. \( C(30) = 25000 \)

Sustituyamos \( x = 30 \) en ambas ecuaciones para encontrar \( C_1 \) y \( C_2 \).It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. However, I can guide you through the process manually if you'd like. Here’s what you need to do next:

### Step-by-Step Solution:

1. **Substitute \( x = 30 \) into the equations:**

   For the income function:
   \[
   I(30) = 2(30)^3 - 2(30)^2 + 10(30) + C_1 = 60000
   \]

   For the cost function:
   \[
   C(30) = (30)^3 - 4(30)^2 + 4(30) + C_2 = 25000
   \]

2. **Solve these equations for \( C_1 \) and \( C_2 \).**

3. **Once \( C_1 \) and \( C_2 \) are found, use them to determine \( I(50) \) and \( C(50) \).**

4. **Finally, compute the utility for 50 units:**
   \[
   \text{Utilidad} = I(50) - C(50)
   \]

If you need any help with these calculations or further assistance, let me know! 

### Related Questions:

1. How do marginal functions relate to total functions in economics?
2. What is the significance of constants of integration in marginal analysis?
3. How does the change in production level affect income and cost functions?
4. What other methods can be used to determine profit besides integration?
5. How can we graphically interpret the income, cost, and profit functions?

**Tip:** Always check if the units in given conditions match when substituting in equations.

Una empresa sabe que las funciones que representan el ingreso marginal y el costo marginal por la producción de x unidades son I ´(x) = 10 − 4x + 6X^2 y C´(x) = 4 − 8x + 3X^2 en dólares. Si al fabricar 30 unidades se genera un costo 25000 US y un ingreso de 60000 US. ¿Cuál es la utilidad que genera la venta de 50 unidades?

Descubre cómo calcular la utilidad generada por la venta de 50 unidades usando funciones de ingreso y costo marginales. El problema incluye conceptos de cálculo, como integración, y es adecuado para estudiantes de nivel avanzado (bachillerato o universitario).

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