Para normalizar la función \( f(x) = x^2 e^{-3x} \), seguimos estos pasos:

### 1. Calcular la constante de normalización \( C \)
La constante de normalización se obtiene al calcular la integral de \( f(x) \) sobre su dominio y luego tomando el recíproco de esa integral.

\[
C = \left( \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-3x} \, dx \right)^{-1}
\]

### 2. Resolver la integral \( \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-3x} \, dx \)
Esta integral se puede resolver utilizando la fórmula de la función gamma, pero en este caso específico, usamos la fórmula general para integrales del tipo \( \int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} \, dx \):

\[
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} \, dx = \frac{n!}{a^{n+1}}
\]

Donde:
- \( n = 2 \)
- \( a = 3 \)

Entonces:

\[
\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-3x} \, dx = \frac{2!}{3^{2+1}} = \frac{2}{27}
\]

### 3. Calcular \( C \)
La constante de normalización es:

\[
C = \left( \frac{2}{27} \right)^{-1} = \frac{27}{2}
\]

### 4. Multiplicar la función original por la constante de normalización
La función normalizada es:

\[
f_{\text{norm}}(x) = C \cdot f(x) = \frac{27}{2} \cdot x^2 e^{-3x}
\]

Por lo tanto, la función normalizada es:

\[
f_{\text{norm}}(x) = \frac{27}{2} x^2 e^{-3x}
\]

Esta función ahora está normalizada de manera que su integral sobre el dominio \( [0, \infty) \) es igual a 1.

¿Necesitas más detalles o alguna aclaración adicional?

---

1. ¿Cómo se derivan las integrales que involucran exponentes y polinomios?
2. ¿Por qué es útil la función gamma en cálculos de integrales?
3. ¿Cómo se verifica si una función está correctamente normalizada?
4. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las funciones normalizadas?
5. ¿Cómo cambian las propiedades de una función después de la normalización?

**Tip:** Para normalizar una función, siempre asegúrate de que la integral sobre el dominio sea finita y que la constante de normalización haga que el área total bajo la curva sea 1.

Learn how to normalize the function f(x) = x^2 e^{-3x} using integration techniques and the gamma function formula. This detailed guide covers the steps to find the normalization constant, calculate the integral, and verify the normalized function. Ideal for advanced mathematics enthusiasts and students.

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