Para normalizar la función \( f(x) = x^2 e^{-3x} \), necesitamos asegurarnos de que el área bajo la curva de \( f(x) \) en su dominio sea igual a 1. Esto se hace integrando la función sobre todo su dominio y luego dividiendo la función original por la integral resultante. 

Aquí están los pasos:

1. **Encontrar la constante de normalización** \( C \):

\[
C = \left( \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx \right)^{-1} = \left( \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-3x} \, dx \right)^{-1}
\]

2. **Resolver la integral** \( \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-3x} \, dx \):

Para resolver esta integral, utilizamos la fórmula de la función gamma:

\[
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} \, dx = \frac{n!}{a^{n+1}}
\]

En este caso, \( n = 2 \) y \( a = 3 \):

\[
\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-3x} \, dx = \frac{2!}{3^{3}} = \frac{2}{27}
\]

3. **Calcular la constante de normalización**:

\[
C = \left( \frac{2}{27} \right)^{-1} = \frac{27}{2}
\]

4. **Multiplicar la función original por la constante de normalización**:

La función normalizada es:

\[
f_{\text{norm}}(x) = \frac{27}{2} \cdot x^2 e^{-3x}
\]

Entonces, la función normalizada es:

\[
f_{\text{norm}}(x) = \frac{27}{2} x^2 e^{-3x}
\]

¿Necesitas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

---

1. ¿Qué es la función gamma y cómo se utiliza en la normalización?
2. ¿Cómo se aplica la función gamma a integrales de este tipo?
3. ¿Cuál es la importancia de la normalización en probabilidad?
4. ¿Cómo afecta la constante de normalización a la forma de la función?
5. ¿Qué propiedades tienen las funciones normalizadas?

**Tip:** Normalizar una función es esencial cuando se trabaja con distribuciones de probabilidad, asegurando que la probabilidad total sea 1.

Learn how to normalize the function f(x) = x^2 e^-3x with a detailed step-by-step guide. This problem involves integration techniques, exponential functions, and normalization concepts. Suitable for advanced college-level students and professionals.

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