Para normalizar la función \( y(x) = e^{-4x} \), se debe encontrar una constante de normalización \( A \) tal que la integral de \( |y(x)|^2 \) sobre el dominio sea igual a 1. Esto es común en contextos como la mecánica cuántica y otras aplicaciones de funciones de onda.

### Paso 1: Definir la condición de normalización

Queremos que la integral del cuadrado de la función normalizada sobre todo el dominio sea igual a 1:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} |A \cdot y(x)|^2 \, dx = 1
\]

En este caso, la función \( y(x) \) es real, por lo que \( |y(x)|^2 = y(x)^2 \). Sustituyendo la función dada:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} A^2 e^{-8x} \, dx = 1
\]

### Paso 2: Resolver la integral

La integral a resolver es:

\[
A^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-8x} \, dx
\]

Sin embargo, la integral diverge si se toma sobre todo el dominio \( (-\infty, \infty) \) ya que \( e^{-8x} \) no tiende a cero suficientemente rápido en \( x \to -\infty \). Esto sugiere que para normalizar la función, el dominio debe ser restringido a \( [0, \infty) \) donde la función tiene sentido físico en muchos contextos.

Recalculamos la integral sobre \( [0, \infty) \):

\[
A^2 \int_{0}^{\infty} e^{-8x} \, dx = 1
\]

\[
A^2 \left[ \frac{e^{-8x}}{-8} \right]_{0}^{\infty} = \frac{A^2}{8}
\]

\[
\frac{A^2}{8} = 1
\]

### Paso 3: Determinar \( A \)

\[
A^2 = 8
\]

\[
A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

### Resultado

La función normalizada es:

\[
y(x) = 2\sqrt{2} \cdot e^{-4x}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Por qué la función \( e^{-8x} \) no se puede normalizar sobre todo el dominio \( (-\infty, \infty) \)?
2. ¿Cómo se puede interpretar físicamente la necesidad de normalizar una función?
3. ¿Qué otros tipos de funciones requieren normalización?
4. ¿Cómo cambiaría la constante de normalización si el exponente fuera diferente?
5. ¿Qué sucedería si normalizáramos sobre un dominio finito distinto de \( [0, \infty) \)?

**Tip:** En muchas aplicaciones físicas, la normalización se usa para asegurar que la probabilidad total sea 1, como en la interpretación probabilística de funciones de onda en mecánica cuántica.

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