Para normalizar la función \( y(x) = x^2 e^{-3x} \), necesitamos encontrar el valor de la constante de normalización \( C \) tal que la integral de \( |y(x)|^2 \) sobre todo el dominio sea igual a 1:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} |C y(x)|^2 \, dx = 1
\]

Dado que \( y(x) = x^2 e^{-3x} \), primero calculamos \( |y(x)|^2 \):

\[
|y(x)|^2 = (x^2 e^{-3x})^2 = x^4 e^{-6x}
\]

Ahora, integramos \( |y(x)|^2 \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = \infty \), ya que para \( x < 0 \), la función es cero:

\[
\int_0^\infty C^2 x^4 e^{-6x} \, dx = 1
\]

Resolvemos la integral:

\[
\int_0^\infty x^4 e^{-6x} \, dx
\]

Esta es una integral de la forma \( \int_0^\infty x^n e^{-ax} \, dx \), que se resuelve utilizando la función gamma \( \Gamma(n+1) = \frac{n!}{a^{n+1}} \), donde \( n = 4 \) y \( a = 6 \):

\[
\int_0^\infty x^4 e^{-6x} \, dx = \frac{4!}{6^5} = \frac{24}{7776} = \frac{1}{324}
\]

Entonces, la integral de \( |y(x)|^2 \) es:

\[
C^2 \cdot \frac{1}{324} = 1
\]

De aquí, \( C^2 = 324 \), por lo que:

\[
C = \sqrt{324} = 18
\]

Finalmente, la función normalizada es:

\[
y(x) = 18 x^2 e^{-3x}
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre este proceso? 

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se aplica la función gamma en la normalización de funciones?
2. ¿Qué es una constante de normalización y por qué es importante?
3. ¿Cómo se normalizan funciones en diferentes dominios?
4. ¿Qué significa físicamente normalizar una función en el contexto de la probabilidad?
5. ¿Cómo afecta la normalización a la forma gráfica de una función?

**Tip:** La normalización de una función es crucial en física y estadística para garantizar que el área bajo la curva de densidad sea 1, lo que permite interpretaciones probabilísticas.

Learn how to normalize the function y(x) = x^2 e^{-3x} using integral calculus and the gamma function. Follow a detailed step-by-step solution to find the normalization constant and understand the mathematical process involved.

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