 Un tanque contiene inicialmente 100 litros de una soluci´on salina al 20%.
 Se empieza a a˜ nadir agua pura a raz´on de 5 litros por minuto, mientras
 se retira la mezcla del tanque a la misma velocidad. Plantea un sistema
 de ecuaciones que modele la concentraci´on de sal en el tanque despu´ es de
 10 minutos dame el sistema con dos ecuaciones y solucionado por medio de la igualacion

Este problema trata de la dilución de una solución salina al agregar agua pura y retirar la mezcla a la misma velocidad. El objetivo es modelar la concentración de sal en el tanque después de 10 minutos.

### Datos iniciales:

- Volumen inicial de la solución: \( V_0 = 100 \) litros
- Concentración inicial de sal: 20% (\( \Rightarrow \) 20 litros de sal en 100 litros de solución)
- Velocidad de entrada y salida de agua: 5 litros por minuto
- Tiempo: 10 minutos

### Variable:
Sea \( x(t) \) la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo \( t \) en minutos.

### Tasa de cambio:
1. El agua pura que entra no contiene sal, por lo que no afecta directamente la cantidad de sal.
2. La mezcla que se retira tiene una concentración de sal de \( \frac{x(t)}{V(t)} \), donde \( V(t) \) es el volumen de la mezcla en el tanque en el tiempo \( t \).

### Ecuaciones:

Sabemos que \( V(t) = 100 \) litros (ya que el volumen del tanque se mantiene constante debido a que entra y sale agua a la misma velocidad). La tasa de cambio de la cantidad de sal, \( \frac{dx}{dt} \), se debe solo a la salida de la solución:

\[
\frac{dx}{dt} = - \left( \frac{x(t)}{100} \right) \cdot 5
\]

\[
\frac{dx}{dt} = - \frac{5x(t)}{100}
\]

\[
\frac{dx}{dt} = -\frac{x(t)}{20}
\]

Esta es una ecuación diferencial que modela el cambio en la cantidad de sal en el tanque con el tiempo.

### Solución de la ecuación diferencial:

1. Separar variables:
   \[
   \frac{dx}{x(t)} = -\frac{1}{20} dt
   \]

2. Integrar ambos lados:
   \[
   \int \frac{1}{x(t)} dx = \int -\frac{1}{20} dt
   \]

   \[
   \ln |x(t)| = -\frac{t}{20} + C
   \]

3. Resolver para \( x(t) \):
   \[
   x(t) = e^{-\frac{t}{20} + C} = e^C e^{-\frac{t}{20}}
   \]

   Donde \( e^C \) es una constante que llamaremos \( C_1 \). Así, la solución general es:
   \[
   x(t) = C_1 e^{-\frac{t}{20}}
   \]

4. Determinar \( C_1 \) usando la condición inicial:
   Inicialmente, hay 20 litros de sal en el tanque cuando \( t = 0 \), es decir, \( x(0) = 20 \).
   \[
   20 = C_1 e^0 \Rightarrow C_1 = 20
   \]

   Por lo tanto, la solución particular es:
   \[
   x(t) = 20 e^{-\frac{t}{20}}
   \]

### Cantidad de sal después de 10 minutos:
Para encontrar la cantidad de sal en el tanque después de 10 minutos, evaluamos \( x(t) \) en \( t = 10 \):

\[
x(10) = 20 e^{-\frac{10}{20}} = 20 e^{-0.5}
\]

Calculamos el valor numérico:

\[
x(10) \approx 20 \times 0.6065 \approx 12.13 \, \text{litros de sal}
\]

### Respuesta:
El sistema de ecuaciones es:

1. \( \frac{dx}{dt} = -\frac{x(t)}{20} \)
2. \( x(0) = 20 \)

La cantidad de sal en el tanque después de 10 minutos es aproximadamente 12.13 litros.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**5 preguntas relacionadas**:
1. ¿Cómo afectaría el sistema si se variara la velocidad de entrada y salida?
2. ¿Qué pasa si en lugar de agua pura se agrega una solución salina de menor concentración?
3. ¿Cómo modelarías este problema si el volumen del tanque cambiara con el tiempo?
4. ¿Qué pasaría si el tanque comenzara con una cantidad diferente de sal?
5. ¿Cómo afectaría una velocidad de retirada mayor que la de entrada?

**Tip**: Al resolver ecuaciones diferenciales, es importante aplicar las condiciones iniciales para obtener una solución particular.

Explore how to model the dilution of a saline solution in a tank using differential equations. This example covers the initial conditions, rate of change formulas, and exponential decay principles. Suitable for high school students and anyone interested in mathematical modeling.

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