otra solucion con un sistema de ecuacion con variables x,y con dos ecuaciones y mas simple

Entiendo, deseas una solución más simple usando un sistema de ecuaciones con dos variables, \(x\) y \(y\), para modelar el problema de la concentración de sal en el tanque. Vamos a plantear el sistema en términos de la cantidad de sal y el tiempo de una manera más directa.

### Variables:
- \(x(t)\): cantidad de sal en el tanque en función del tiempo \(t\).
- \(y(t)\): volumen de solución salina en el tanque en función del tiempo (en este caso, es constante porque el volumen total no cambia, ya que la entrada y salida son a la misma tasa).

### Planteamiento del sistema de ecuaciones:

1. **Primera ecuación**: la tasa de cambio de la cantidad de sal \(x(t)\). Sabemos que se retira 5 litros de solución por minuto, y en cada momento la cantidad de sal en el tanque está dada por \(x(t)\). Entonces, la concentración de sal que sale es proporcional a \(x(t)\).

   La tasa de salida de sal será:
   \[
   \frac{dx}{dt} = -\frac{5}{100} x
   \]

2. **Segunda ecuación**: inicialmente, tenemos 20 litros de sal en 100 litros de solución (concentración al 20%), lo que nos da la condición inicial:
   \[
   x(0) = 20
   \]

Entonces, el sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{20} x \\
x(0) = 20
\end{cases}
\]

### Resolviendo por el método de **igualación**:

Este es un sistema sencillo donde podemos resolver directamente la primera ecuación diferencial.

1. La ecuación diferencial es de la forma:
   \[
   \frac{dx}{dt} = -\frac{1}{20} x
   \]

2. Separar variables:
   \[
   \frac{1}{x} dx = -\frac{1}{20} dt
   \]

3. Integrar ambos lados:
   \[
   \int \frac{1}{x} dx = \int -\frac{1}{20} dt
   \]

   \[
   \ln |x| = -\frac{t}{20} + C
   \]

4. Despejamos \(x(t)\):
   \[
   x(t) = e^{-\frac{t}{20} + C} = C_1 e^{-\frac{t}{20}}
   \]

   Donde \(C_1\) es una constante que se determina con la condición inicial.

5. Usamos la condición inicial \(x(0) = 20\):
   \[
   20 = C_1 e^0 \Rightarrow C_1 = 20
   \]

Por lo tanto, la solución es:
\[
x(t) = 20 e^{-\frac{t}{20}}
\]

### Cantidad de sal después de 10 minutos:

Para encontrar la cantidad de sal después de 10 minutos, evaluamos \(x(t)\) en \(t = 10\):

\[
x(10) = 20 e^{-\frac{10}{20}} = 20 e^{-0.5} \approx 20 \times 0.6065 = 12.13 \, \text{litros}
\]

### Respuesta final:
La cantidad de sal en el tanque después de 10 minutos es aproximadamente 12.13 litros, utilizando el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{20} x \\
x(0) = 20
\end{cases}
\]

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna otra pregunta?

**5 preguntas relacionadas**:
1. ¿Cómo se modificaría este sistema si el tanque comenzara con 50 litros de sal?
2. ¿Qué ocurriría si la tasa de entrada y salida fuera diferente?
3. ¿Cómo resolverías este sistema si el volumen en el tanque cambiara con el tiempo?
4. ¿Qué método alternativo podrías usar para resolver este sistema de ecuaciones?
5. ¿Cómo afectaría al sistema si en lugar de 20% de sal, tuviéramos un 10% de concentración inicial?

**Tip**: Al plantear sistemas de ecuaciones, intenta mantener las relaciones proporcionales claras, como en este caso la salida de sal proporcional a la concentración.

Learn how to solve a simple exponential decay problem using differential equations. Explore the process of modeling and solving differential equations with an initial value problem approach. Suitable for Grades 11-12 students.

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