Un tanque industrial con capacidad de 17500 litros contiene 400 litros de salmuera, con 120 gramos de sal disuelta en ella. Hacia el tanque fluye una solución salina con una concentración de 5 g/l, a razón de 24 l/min. La mezcla debidamente agitada, se bombea hacia afuera a razón de 15 l/min. ¿Es cierto que la concentración en el tanque, a los cuatro minutos de iniciado el proceso, es menor a 0,85 gramos/litro?

Para resolver el problema y determinar si la concentración en el tanque a los cuatro minutos es menor a 0,85 gramos/litro, vamos a seguir estos pasos:

### Datos iniciales:
- **Volumen inicial de salmuera en el tanque**: \( V(0) = 400 \) litros.
- **Cantidad inicial de sal disuelta**: \( S(0) = 120 \) gramos.
- **Concentración de la solución entrante**: \( c_{\text{in}} = 5 \) gramos/litro.
- **Tasa de entrada de la solución**: \( q_{\text{in}} = 24 \) litros/minuto.
- **Tasa de salida de la mezcla**: \( q_{\text{out}} = 15 \) litros/minuto.
- **Capacidad total del tanque**: 17500 litros.

### 1. Ecuación diferencial para la cantidad de sal en el tanque
Sea \( S(t) \) la cantidad de sal (en gramos) en el tanque en cualquier tiempo \( t \) en minutos. El cambio en \( S(t) \) se modela mediante la ecuación diferencial:

\[
\frac{dS(t)}{dt} = \text{Entrada de sal} - \text{Salida de sal}
\]

La entrada de sal es:

\[
\text{Entrada de sal} = q_{\text{in}} \times c_{\text{in}} = 24 \times 5 = 120 \text{ gramos/minuto}
\]

La salida de sal es:

\[
\text{Salida de sal} = q_{\text{out}} \times \frac{S(t)}{V(t)}
\]

donde \( V(t) \) es el volumen de la solución en el tanque en el tiempo \( t \). Como \( V(t) \) cambia con el tiempo debido a la diferencia entre la tasa de entrada y salida:

\[
V(t) = V(0) + (q_{\text{in}} - q_{\text{out}})t = 400 + (24 - 15)t = 400 + 9t \text{ litros}
\]

Por lo tanto, la ecuación diferencial es:

\[
\frac{dS(t)}{dt} = 120 - 15 \times \frac{S(t)}{400 + 9t}
\]

### 2. Solución de la ecuación diferencial
La ecuación es una ecuación diferencial lineal de primer orden que se puede resolver usando un factor integrante. Sin embargo, primero calculemos la solución aproximada utilizando las condiciones iniciales y métodos simplificados, ya que el tiempo es relativamente corto (4 minutos).

### 3. Determinación de la concentración a los 4 minutos
Después de obtener la solución \( S(t) \), calculamos la concentración \( C(t) \) en gramos/litro como:

\[
C(t) = \frac{S(t)}{V(t)}
\]

Y evaluamos \( C(4) \) para verificar si es menor que 0,85 gramos/litro.

Voy a resolver la ecuación para \( S(t) \) y determinar \( C(4) \).La solución de la ecuación diferencial es compleja, pero se puede expresar en forma general:

\[
S(t) = \frac{3645t^3 + 486000t^2 + 21600000t - \frac{135360000 \times 20^{1/3} \times t}{(9t + 400)^{2/3}} + 320000000 - \frac{6016000000 \times 20^{1/3}}{(9t + 400)^{2/3}}}{81t^2 + 7200t + 160000}
\]

Ahora, evaluaremos esta expresión en \( t = 4 \) minutos para obtener \( S(4) \), y luego calcularemos la concentración \( C(4) = \frac{S(4)}{V(4)} \).

Voy a proceder con esos cálculos ahora.La concentración de sal en el tanque a los cuatro minutos, \( C(4) \), es aproximadamente **1,265 gramos/litro**.

Dado que 1,265 gramos/litro es mayor que 0,85 gramos/litro, **no** es cierto que la concentración sea menor a 0,85 gramos/litro a los cuatro minutos de iniciado el proceso.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre la solución?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se obtiene el factor integrante para resolver una ecuación diferencial lineal?
2. ¿Qué efecto tendría un aumento en la tasa de salida en la concentración a los 4 minutos?
3. ¿Cómo cambiaría la solución si la concentración de la solución entrante fuera diferente?
4. ¿Qué métodos numéricos pueden utilizarse para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales?
5. ¿Cómo afectaría una capacidad de tanque más baja a la concentración final?

**Tip:** En problemas de mezclas, mantener un seguimiento del volumen total es crucial, ya que afecta directamente la concentración de la solución.

Explore the solution to an industrial tank mixing problem where a saline solution with specified concentration flows into a tank. Learn about differential equations and mixing problems, and find out if the concentration in the tank remains below 0.85 grams/liter after four minutes.

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