Se conoce que la población crece exponencialmente, de acuerdo con este conocimiento debe resolver el siguiente caso para un tipo de bacteria que se divide cada minuto. Suponga que a las 12:00 del mediodía abre una lata de atún para preparar su almuerzo y la deja sobre la mesa, ya que debe atender un llamado urgente del departamento de logística. Debe determinar el modelo matemático respecto al tiempo que describe el crecimiento de la bacteria, posteriormente, determinar cuántas bacterias tendría la lata a las 12:15 p. m., a las 12:20 y a las 12:30

Para resolver este problema, primero vamos a establecer un modelo matemático que describa el crecimiento exponencial de las bacterias.

### 1. Modelo Matemático
El crecimiento exponencial de la población de bacterias puede expresarse mediante la siguiente fórmula:

\[
N(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{T}}
\]

Donde:
- \(N(t)\) es el número de bacterias en el tiempo \(t\).
- \(N_0\) es el número inicial de bacterias.
- \(T\) es el tiempo en el que la población se duplica.
- \(t\) es el tiempo transcurrido desde el momento inicial.

En este caso, sabemos que las bacterias se duplican cada minuto, así que \(T = 1\) minuto. Si asumimos que en el momento inicial (a las 12:00 p. m.) hay \(N_0\) bacterias, el modelo que describe el crecimiento de la población es:

\[
N(t) = N_0 \cdot 2^t
\]

### 2. Cálculo de las Bacterias a Diferentes Tiempos

**a. A las 12:15 p. m.:**  
El tiempo transcurrido desde las 12:00 p. m. es de 15 minutos (\(t = 15\)):

\[
N(15) = N_0 \cdot 2^{15}
\]

**b. A las 12:20 p. m.:**  
El tiempo transcurrido desde las 12:00 p. m. es de 20 minutos (\(t = 20\)):

\[
N(20) = N_0 \cdot 2^{20}
\]

**c. A las 12:30 p. m.:**  
El tiempo transcurrido desde las 12:00 p. m. es de 30 minutos (\(t = 30\)):

\[
N(30) = N_0 \cdot 2^{30}
\]

### 3. Resultados

- **A las 12:15 p. m.** el número de bacterias sería \(N(15) = N_0 \cdot 2^{15}\).
- **A las 12:20 p. m.** el número de bacterias sería \(N(20) = N_0 \cdot 2^{20}\).
- **A las 12:30 p. m.** el número de bacterias sería \(N(30) = N_0 \cdot 2^{30}\).

### Ejemplo Numérico (Asumiendo \(N_0 = 1\))
Si asumimos que inicialmente hay 1 bacteria:

\[
N(15) = 2^{15} = 32,768
\]

\[
N(20) = 2^{20} = 1,048,576
\]

\[
N(30) = 2^{30} = 1,073,741,824
\]

### Conclusión
Las bacterias se multiplican exponencialmente, y si se empieza con una bacteria, a las 12:30 p. m. ya habría más de mil millones de bacterias en la lata de atún.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relativas:**
1. ¿Cómo afectaría el tiempo de duplicación a la población de bacterias?
2. ¿Qué ocurriría si el crecimiento no fuera exponencial?
3. ¿Cómo se puede modelar la reducción de la población bacteriana?
4. ¿Qué otros factores podrían influir en el crecimiento bacteriano?
5. ¿Cómo se podría controlar el crecimiento bacteriano en este caso?

**Tip:** Recuerda que los modelos exponenciales son muy sensibles al tiempo, pequeños cambios pueden resultar en grandes diferencias en los resultados.

Explore how bacterial population growth can be modeled using exponential growth formula. Solve for the number of bacteria at different times starting from noon with detailed calculations. Suitable for high school students studying exponential growth.

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