Minimización de Riesgo

La compañía EPSILON tiene la opción de invertir en tres activos financieros: Activo A, Activo B y Activo C. El capital total disponible para invertir es de $180,000. La rentabilidad esperada anual de cada activo es la siguiente: Activo A 6%, Activo B 10% y Activo C 7%. La compañía desea minimizar el riesgo asociado con su portafolio. El riesgo asociado con cada activo se mide en términos de desviación estándar de sus retornos anuales: Activo A 4%, Activo B 7% y Activo C 5%.

La compañía tiene las siguientes restricciones:
•	La inversión en el Activo A debe ser al menos $20,000.
•	La inversión en el Activo B no debe exceder el 40% del capital total.
•	El total invertido en los activos B y C no puede superar el 60% del capital total.
•	La inversión en el Activo C no puede ser menor de $30,000.

Para minimizar el riesgo asociado con el portafolio de la compañía EPSILON, teniendo en cuenta las restricciones y la desviación estándar de cada activo, se puede plantear un problema de programación lineal cuadrática (PLQ). Este tipo de problema minimiza una función cuadrática (el riesgo) sujeto a restricciones lineales.

### Variables de decisión:
- $ x_1 $: Monto a invertir en el Activo A (en dólares).
- $ x_2 $: Monto a invertir en el Activo B (en dólares).
- $ x_3 $: Monto a invertir en el Activo C (en dólares).

### Función objetivo:
Queremos minimizar el riesgo total del portafolio, que se mide mediante la desviación estándar ponderada de los retornos de los activos. La función objetivo sería:

\[
\text{Minimizar: } R = 0.04x_1 + 0.07x_2 + 0.05x_3
\]

### Restricciones:
1. **Presupuesto total disponible:**
   \[
   x_1 + x_2 + x_3 \leq 180,000
   \]

2. **Inversión mínima en el Activo A:**
   \[
   x_1 \geq 20,000
   \]

3. **Inversión máxima en el Activo B:**
   \[
   x_2 \leq 0.40 \times 180,000 = 72,000
   \]

4. **Inversión combinada en los Activos B y C:**
   \[
   x_2 + x_3 \leq 0.60 \times 180,000 = 108,000
   \]

5. **Inversión mínima en el Activo C:**
   \[
   x_3 \geq 30,000
   \]

6. **No hay inversiones negativas:**
   \[
   x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0, \quad x_3 \geq 0
   \]

### Resolución del problema:
Para resolver este problema de minimización del riesgo, se puede usar un enfoque cuadrático debido a la naturaleza de la función objetivo. Sin embargo, dado que en este caso la función objetivo es lineal en lugar de cuadrática, el problema puede resolverse directamente utilizando técnicas de programación lineal estándar.

### Solución:
El problema se plantea como sigue:

\[
\begin{aligned}
\text{Minimizar:} \quad & R = 0.04x_1 + 0.07x_2 + 0.05x_3 \\
\text{Sujeto a:} \quad & x_1 + x_2 + x_3 \leq 180,000 \\
& x_1 \geq 20,000 \\
& x_2 \leq 72,000 \\
& x_2 + x_3 \leq 108,000 \\
& x_3 \geq 30,000 \\
& x_1, x_2, x_3 \geq 0
\end{aligned}
\]

### Resolviendo el problema:
Podemos explorar soluciones límites debido a la linealidad del problema:

1. **Invertir lo mínimo posible en los activos con mayor riesgo (B y C):** 
   Si invertimos lo mínimo requerido en C ($x_3 = 30,000$) y respetamos la restricción en B ($x_2 = 72,000$), el resto se destina a A.

   \[
   x_1 = 180,000 - 72,000 - 30,000 = 78,000
   \]

   Esto respeta todas las restricciones.

### Riesgo Mínimo Calculado:
\[
R = 0.04(78,000) + 0.07(72,000) + 0.05(30,000) = 3,120 + 5,040 + 1,500 = 9,660 \text{ unidades de riesgo}
\]

### Conclusión:
Para minimizar el riesgo, la compañía EPSILON debería invertir $78,000 en el Activo A, $72,000 en el Activo B, y $30,000 en el Activo C. Esto resulta en un riesgo total de 9,660 unidades, manteniendo las restricciones dadas.

¿Necesitas más detalles sobre la metodología o alguna otra pregunta relacionada?

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**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Qué sucede si se aumenta la inversión mínima requerida en el Activo C?
2. ¿Cómo cambiarían las decisiones de inversión si el riesgo del Activo B se redujera a 5%?
3. ¿Cuál sería el impacto en el riesgo si la inversión máxima en el Activo B se incrementara al 50% del capital total?
4. ¿Cómo afectaría el riesgo total si la compañía decide que la inversión en el Activo A no puede superar el 50% del capital?
5. ¿Qué método se utilizaría si los activos tuvieran una correlación entre sí?

**Tip:** En problemas de minimización de riesgos, evaluar la correlación entre activos puede ser crucial para una mejor diversificación y reducción de riesgo.

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