Em um circuito el ́etrico composto por um resistor (R), um indutor (L) e
um capacitor (C) conectados em s ́erie, a corrente el ́etrica i(t) que percorre o
circuito  ́e governada pela seguinte equa ̧c ̃ao diferencial de segunda ordem:

L
d
2
i(t)
dt2
+ R
di(t)
dt +
i(t)
C
= E(t)
Neste cen ́ario, os valores dos componentes s ̃ao:
• Indutˆancia L = 2 H,
• Resistˆencia R = 4 Ω,
• Capacitˆancia C = 0, 5 F.
A for ̧ca eletromotriz aplicada ao circuito, E(t), varia com o tempo de
acordo com a fun ̧c ̃ao E(t) = 10 sin(2t).
Considerando que inicialmente n ̃ao h ́a corrente no circuito (i(0) = 0)
e que a taxa de varia ̧c ̃ao da corrente tamb ́em  ́e nula ( di(0)

dt = 0), utilize o
M ́etodo da Decomposi ̧c ̃ao de Laplace para determinar a express ̃ao da
corrente i(t) no circuito ao longo do tempo.

Para resolver a equação diferencial usando o Método da Transformada de Laplace, vamos seguir os seguintes passos:

### 1. Escrevendo a equação diferencial
A equação diferencial que governa o circuito é:

\[
L \frac{d^2 i(t)}{dt^2} + R \frac{di(t)}{dt} + \frac{i(t)}{C} = E(t)
\]

Substituindo os valores de \(L\), \(R\), \(C\) e \(E(t)\):

\[
2 \frac{d^2 i(t)}{dt^2} + 4 \frac{di(t)}{dt} + 2i(t) = 10 \sin(2t)
\]

### 2. Aplicando a Transformada de Laplace
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação, lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:

\[
\mathcal{L}\left\{\frac{d^2 i(t)}{dt^2}\right\} = s^2 I(s) - s i(0) - \frac{di(0)}{dt}
\]
\[
\mathcal{L}\left\{\frac{di(t)}{dt}\right\} = s I(s) - i(0)
\]
\[
\mathcal{L}\{i(t)\} = I(s)
\]

Dado que \(i(0) = 0\) e \(\frac{di(0)}{dt} = 0\):

\[
\mathcal{L}\left\{2 \frac{d^2 i(t)}{dt^2} + 4 \frac{di(t)}{dt} + 2i(t)\right\} = 2(s^2 I(s)) + 4(s I(s)) + 2I(s)
\]

\[
\mathcal{L}\left\{10 \sin(2t)\right\} = \frac{20}{s^2 + 4}
\]

Portanto, a equação no domínio de Laplace fica:

\[
2s^2 I(s) + 4s I(s) + 2I(s) = \frac{20}{s^2 + 4}
\]

### 3. Simplificando a equação
Agrupando os termos de \(I(s)\):

\[
I(s) (2s^2 + 4s + 2) = \frac{20}{s^2 + 4}
\]

\[
I(s) = \frac{20}{(s^2 + 4)(2s^2 + 4s + 2)}
\]

### 4. Fatorando e simplificando
Podemos simplificar ainda mais:

\[
I(s) = \frac{20}{2(s^2 + 4)(s^2 + 2s + 1)}
\]

\[
I(s) = \frac{10}{(s^2 + 4)(s^2 + 2s + 1)}
\]

Agora, precisamos decompor essa fração em frações parciais.

### 5. Decompondo em frações parciais
Decompondo:

\[
\frac{10}{(s^2 + 4)(s^2 + 2s + 1)} = \frac{A s + B}{s^2 + 4} + \frac{C s + D}{s^2 + 2s + 1}
\]

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum e igualando os coeficientes, podemos determinar \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

### 6. Aplicando a Transformada Inversa de Laplace
Após encontrar os valores de \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar \(i(t)\).

### Solução final
Após resolver as frações parciais e aplicar a transformada inversa, obteremos a expressão para a corrente \(i(t)\) no circuito ao longo do tempo.

### Perguntas relacionadas:

1. Como a resposta do circuito mudaria se a resistência \(R\) fosse alterada?
2. Quais são as condições de estabilidade para o circuito RLC?
3. Como a frequência de \(E(t)\) afeta a solução \(i(t)\)?
4. Quais são as aplicações práticas de um circuito RLC em série?
5. Como a energia armazenada no indutor e no capacitor varia com o tempo?

**Dica:** O método da Transformada de Laplace é extremamente útil para resolver equações diferenciais com condições iniciais não triviais.

Explore como resolver circuitos RLC em série utilizando o Método da Transformada de Laplace. Este problema aborda equações diferenciais de segunda ordem com condições iniciais não triviais, aplicando conceitos avançados de teoria de circuitos e matemática aplicada.

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