Un circuito en serie tiene una inductancia de 0.1 Henrios y una resistencia de 50 ohmios. Se le aplica una tensión de 30 Voltios. Evalúe la corriente ( i(t) ) si ( i(0) = 0 ). Determine también la corriente cuando ( t ) tiende a infinito.

Para resolver este problema, primero identificaremos las ecuaciones necesarias y luego procederemos a calcular la corriente en el tiempo \( i(t) \) y la corriente cuando el tiempo \( t \) tiende a infinito.

### 1. Ecuación del circuito RL en serie

En un circuito RL en serie, la ecuación diferencial que describe la corriente \( i(t) \) es:

\[
V(t) = L \frac{di(t)}{dt} + Ri(t)
\]

donde:
- \( V(t) \) es la tensión aplicada al circuito.
- \( L \) es la inductancia del circuito.
- \( R \) es la resistencia del circuito.
- \( i(t) \) es la corriente en función del tiempo.

### 2. Datos proporcionados
- \( L = 0.1 \) Henrios.
- \( R = 50 \) Ohmios.
- \( V(t) = 30 \) Voltios (tensión constante).
- \( i(0) = 0 \) (condición inicial).

### 3. Solución de la ecuación diferencial

La ecuación diferencial se convierte en:

\[
30 = 0.1 \frac{di(t)}{dt} + 50i(t)
\]

Dividimos todo por \( 0.1 \) para simplificar:

\[
300 = \frac{di(t)}{dt} + 500i(t)
\]

La ecuación diferencial homogénea asociada es:

\[
\frac{di(t)}{dt} + 500i(t) = 0
\]

La solución de la ecuación homogénea es:

\[
i_h(t) = C e^{-500t}
\]

donde \( C \) es una constante que se determinará utilizando la condición inicial.

Para la solución particular, dado que \( V(t) \) es constante, probamos con una solución constante \( i_p(t) = A \):

\[
300 = 500A
\]

De donde:

\[
A = \frac{300}{500} = 0.6 \text{ Amperios}
\]

La solución completa es entonces:

\[
i(t) = i_h(t) + i_p(t) = C e^{-500t} + 0.6
\]

### 4. Determinación de la constante \( C \)

Usando la condición inicial \( i(0) = 0 \):

\[
0 = C e^{0} + 0.6
\]

\[
C = -0.6
\]

Por lo tanto, la corriente en función del tiempo es:

\[
i(t) = -0.6 e^{-500t} + 0.6
\]

### 5. Corriente cuando \( t \) tiende a infinito

Cuando \( t \) tiende a infinito, el término exponencial \( e^{-500t} \) tiende a 0, por lo que la corriente será:

\[
i(\infty) = 0.6 \text{ Amperios}
\]

### Resumen de resultados:
- La corriente en función del tiempo es: \( i(t) = 0.6 (1 - e^{-500t}) \) Amperios.
- La corriente cuando \( t \) tiende a infinito es: \( i(\infty) = 0.6 \) Amperios.

---

¿Quieres más detalles sobre los cálculos o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la constante en la solución de ecuaciones diferenciales?
2. ¿Qué es un circuito RL en serie y cómo funciona?
3. ¿Cómo afecta la inductancia a la corriente en un circuito?
4. ¿Qué significa que la corriente se estabilice cuando \( t \) tiende a infinito?
5. ¿Cómo se resolvería este problema si la tensión aplicada fuera sinusoidal?
6. ¿Qué ocurre si la resistencia del circuito aumenta?
7. ¿Cómo afecta una inductancia mayor al comportamiento del circuito?
8. ¿Qué métodos se usan para resolver ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos?

**Tip:** En circuitos RL, la inductancia inicialmente se opone al cambio de corriente, lo que causa un retardo en la estabilización de la corriente en comparación con circuitos puramente resistivos.

Explore how to solve an RL circuit problem with given inductance, resistance, and applied voltage. Understand the differential equation involved and its solution over time. Suitable for advanced undergraduate students and enthusiasts of electrical circuit theory.

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